Dlaczego nie da się nastroić pianina?

Dźwięk to drgania mechaniczne przekazywane naszym uszom za pośrednictwem powietrza. Powietrze w danym punkcie co chwila rozrzedza się i spręża i te właśnie zmiany ciśnienia rejestrowane są przez nasze ucho. Jednak jesteśmy w stanie usłyszeć tylko szybkie zmiany ciśnienia, nawet drobne, ale szybkie. Statystyczny człowiek słyszy fale o częstotliwości 16 Hz - 20 kHz.

Falę dźwiękową (w danym punkcie) możemy przedstawić w postaci wykresu ciśnienia w zależności od czasu, gdzie poziom 'zero' odzwierciedla średnie ciśnienie. Na tym właśnie polega zapis dźwięku na nośnikach. Np. na płycie kompaktowej zapisuje się poziom ciśnienia w 44 000 punktach na sekundę.

Tym, co odróżnia dźwięk muzyczny od innych rodzajów dźwięku (szumów, trzasków, ludzkiej mowy itp.), jest przede wszystkim fakt posiadania charakterystycznej cechy: wysokości. Dźwięk muzyczny powstaje na skutek drgań źródła dźwięku. Nawet jeśli zmienia się amplituda tych drgań, ich częstotliwość dla danego dźwięku jest stała. Ona właśnie określa wysokość dźwięku - im wyższa częstotliwość, tym wyższy dźwięk. Wiemy jednak, że tę samą prostą melodię jesteśmy w stanie zagrać np. zarówno na trąbce, jak i na fortepianie. Co sprawia, że dwa instrumenty wydające dźwięk o tej samej wysokości brzmią zupełnie inaczej? Dlaczego bez problemu jesteśmy w stanie odróżnić fortepian od trąbki?

Kolejną cechą dźwięku muzycznego jest obwiednia. Opisuje ona, jak zmienia się natężenie dźwięku w czasie. Przebieg natężenia dzieli się zazwyczaj na trzy fazy: narastanie, trwanie i wybrzmiewanie. Obok widać wykres natężenia w zależności od czasu (czyli obwiednię) dla fortepianu (linia kolorowa) i skrzypiec (linia czarna).

Dźwięk fortepianu narasta bardzo szybko, maksymalne natężenie trwa dosłownie chwilę (tyle, co uderzenie młoteczka w strunę), najwięcej czasu zajmuje 'opadanie' dźwięku. Z kolei w skrzypcach (przy standardowym wydawanym dźwięku) fazy narastania i wybrzmiewania są zaniedbywalnie krótkie, natomiast między nimi jest - tak długa, jak długo smyczek porusza strunę - faza trwania o mniej więcej jednostajnym natężeniu. Zauważmy jednak, że obwiednia, o ile wystarcza do odróżnienia fortepianu od skrzypiec, dla skrzypiec i trąbki będzie już taka sama, a przecież jakieś różnice między wydobywanymi z tych instrumentów dźwiękami muszą istnieć, skoro je słyszymy. Tu właśnie pojawia się trzecia cecha dźwięku muzycznego: barwa. Nią właśnie teraz się zajmiemy.

Wiemy, że struny mogą wydawać dźwięki różnej wysokości. Jeśli zwiększymy naprężenie struny lub zmniejszymy jej długość bądź masę, uzyskamy wyższy dźwięk. Konkretnie: częstotliwość wydobywanego dźwięku jest odwrotnie proporcjonalna do długości i masy struny, zaś wprost proporcjonalna do pierwiastka z jej naprężenia. Kiedy młoteczek uderza strunę, pobudza dwie fale poprzeczne, rozchodzące się w dwie strony. Czoło każdej z nich najpierw przesuwa się w kierunku mocowania struny, potem odbija od niego, następnie sunie w drugim kierunku, odbija się od drugiego mocowania i dopiero wtedy wraca do 'punktu wyjścia'. W efekcie powstaje fala stojąca długości dwukrotnie większej niż długość struny.

Kiedy spojrzymy na drgającą szybko strunę fortepianu czy gitary, zobaczymy rozmyty zarys przypominający kształtem brzegu 'połówkę' okresu wykresu sinusa.

Okazuje się jednak, że nie jest to prosty sinus. Kiedy pobudzimy strunę, na takie drgania nałożą się jeszcze takie, jak na kolejnych rysunkach.

a)

b)

c)

d)

Drgania te możemy zasymulować np. na gitarze, przykładając delikatnie w odpowiednich miejscach struny palec, tworząc w ten sposób węzeł. Dźwięk, który w ten sposób powstaje, nosi nazwę flażoletu i, z dokładnością do obwiedni, jest bardzo zbliżony do fali sinusoidalnej. Kiedy węzeł stworzymy w środku struny, jak na rys. a, zabrzmi ona dwa razy wyżej niż normalnie. Jeśli palec przyłożymy w 1/3 długości struny, jak na rys. b, węzeł powstanie automatycznie również w 2/3 długości i struna zabrzmi trzy razy wyżej niż normalnie itd. W ten sposób powstawać będą coraz wyższe dźwięki. Na gitarze efektywnie jesteśmy w stanie zagrać jeszcze dwa, trzy flażolety, co w żaden sposób nie znaczy, że tylko tyle składowych wydobywa się podczas normalnego szarpania struny.

Kiedy szarpniemy strunę gitary, do naszego ucha dotrze jednocześnie wiele fal o różnych częstotliwościach. Najniższa z nich zwana jest tonem podstawowym, wyższe - o częstotliwościach będących jej wielokrotnościami - alikwotami (wszystkie zaś określane są mianem składowych harmonicznych). Dla danego dźwięku słyszymy od kilku do dwudziestu kilku alikwotów, w zależności od wysokości i mocy dźwięku (dla niższych i głośniejszych więcej). Nie wszystkie składowe harmoniczne brzmią ładnie. Już siódma wyraźnie nie stroi.

Mimo że w ten sposób dochodzi do nas wiele fal, usłyszymy to jako jeden dźwięk. Słyszana przez nas wysokość będzie równa wysokości tonu podstawowego, który zdecydowanie dominuje. To, że wiele różnych dźwięków zlewa nam się w jeden nie powinno dziwić. W organach jeden dźwięk zazwyczaj jest uzyskiwany przez połączenie wielu głosów, czyli grany jest przez kilka/kilkanaście piszczałek równocześnie (często o wysokościach różniących się o kwintę lub wielokrotności oktawy).

Struna pobudza do drgania powietrze, w którym jest zawieszona. Ponieważ ma małą powierzchnię, nie jest w stanie poruszyć zbyt wielkich mas powietrza. Dźwięk instrumentu złożonego tylko ze struny zamocowanej na końcach byłby bardzo cichy, ledwo słyszalny. Dlatego w instrumentach strunowych stosuje się tzw. płyty lub pudła rezonansowe, aby zwiększyć natężenie dźwięku. Przejmują one drgania od struny i przekazują je powietrzu. Zbudowane są tak, aby niektóre częstotliwości były wzmacniane bardziej, inne mniej. Dlatego barwa instrumentu w bardzo dużym stopniu zależy od płyty rezonansowej.

W gitarze czy skrzypcach drga cała obudowa, w fortepianie płyta rezonansowa jest oddzielną, niezależną od obudowy częścią (montowana jest pod ramą, na której są rozciągnięte struny). Struny przekazują płycie swoje drgania przez specjalny mostek, na którym są rozpięte.

Przykład fortepianu czy gitary dobrze ilustruje ogólną prawdę: dźwięk instrumentu muzycznego składa się z wielu dźwięków o określonych częstotliwościach, występujących w różnych proporcjach. To owe proporcje decydują o barwie instrumentu. One sprawiają, że bez trudu odróżniamy flet od fagotu.

Zazwyczaj jest tak, że ton podstawowy jest najsilniejszy, a kolejne alikwoty coraz słabsze. Różnice występują np. w dzwonach, w których bardzo silnie potrafi się wybijać trzecia czy piąta składowa. W niektórych typach piszczałek organowych (zakrytych) niezerowe są wyłącznie nieparzyste składowe.

Okazuje się, że każdy dźwięk muzyczny można rozłożyć na proste składowe. Dowodzi tego twierdzenie matematyczne:
Jeżeli funkcja f jest ciągła i okresowa, to dla dowolnego ε > 0 istnieje wielomian trygonometryczny P taki, że dla dowolnego x$\in$R zachodzi |P(x) - f(x)| < ε,
to znaczy, że wielomian ten bardzo dobrze przybliża funkcję f.

Dźwięk muzyczny jest falą mniej więcej okresową i też poddaje się temu prawu. Oczywiście trudno mówić o okresie w momencie, w którym dźwięk opada (jak w przypadku fortepianu)niemniej jednak zawsze możemy przemnożyć naszą falę przez odwrotność natężenia i wtedy otrzymamy dźwięk o stałej obwiedni, który będzie już falą okresową. Za okres przyjmijmy długość fali odpowiadającą słyszanemu przez nas tonowi podstawowemu. Z twierdzenia Fouriera wiemy, że jesteśmy w stanie rozłożyć to, co słyszymy, na sumy sinusów i cosinusów o długościach będących wielokrotnościami przyjętej przez nas długości podstawowej. Chcemy jednak dostać po jednej fali na częstotliwość, nie po dwie. Zauważmy jednak, że fala wyrażona wzorem a·sinx + b·cosx jest nadal falą sinusoidalną. Mianowicie, ze wzorów trygonometrycznych mamy: c·sin(x+d) = c·cosd·sinx + c·sind·cosx.
Wystarczy zatem dobrać takie c i d, aby c·cosd = a oraz c·sind = b. Czyli rzeczywiście możemy rozłożyć falę dźwiękową na szereg fal sinusoidalnych o częstotliwościach będących wielokrotnością podstawowej, niekiedy przesuniętych w fazie, czego jednak nasze ucho nie słyszy.

A dlaczego właściwie upieramy się przy tym, by rozbijać dźwięk akurat na fale sinusoidalne, a nie np. trójkątne czy o kształcie krzywej Gaussa? Okazuje się, że tylko fala sinusoidalna jest przez nas odbierana jako dźwięk nierozbijalny, atomowy.

Wypada wspomnieć, co to właściwie jest ten cały "fortepian". W dużym skrócie jest to położone poziomo pudło z kształtu przypominające harfę, w którym są:

• żeliwna rama,
• struny rozpięte na ramie, z jednej strony zaczepione, z drugiej nawinięte na kołeczki, którymi kręcąc zmienia się naciąg struny, a co za tym idzie - wysokość wydobywanego dźwięku,
• płyta rezonansowa, która wzmacnia dźwięk,
• młoteczki, które uderzając w struny, generują dźwięk,
• klawisze, które wprawiają w ruch młoteczki,
• pedały, tłumiki i inne rzeczy, którymi nie będziemy się zajmować.

Klawiatura fortepianu wygląda tak:

Klawisze podzielone są na grupy po 12, w tym 7 białych i 5 czarnych. Te grupy zwane są oktawami. Oktawy mają swoje nazwy. Najniższa (jest to właściwie tylko część oktawy ? trzy najniższe dźwięki fortepianu) nosi nazwę subkontra i jej dźwięki są oznaczane przez podwójne podkreślenie. Wyższa oktawa nosi nazwę kontra (dźwięki są podkreślane raz), następnie są: oktawa wielka (dźwięki pisane wielkimi literami), mała (dźwięki pisane małymi literami), razkreślna (dźwięki pisane z indeksem 1, np. a¹) i tak aż do pięciokreślnej, którą na tradycyjnej klawiaturze reprezentuje tylko jeden dźwięk (c⁵).

A skąd się bierze 'harfowaty' kształt pudła fortepianu? Pamiętamy, że im dłuższa jest struna, tym niższy dźwięk generuje. Dźwiękowi c⁵ odpowiada struna długości 5 cm. Gdyby średnica i naciąg były identyczne dla wszystkich strun, dźwiękom c⁴, c³, c² itd. odpowiadałyby struny długości 10, 20, 40 aż do 640 cm dla C, a dla niższych dźwięków jeszcze więcej. Instrument prawie siedmiometrowej długości byłby jednak zupełnie niepraktyczny. Na szczęście w fortepianie wraz ze zmniejszaniem tonu rośnie średnica strun. Ich naciąg też co prawda delikatnie rośnie, ale jest z nawiązką rekompensowany przez wzrost masy. Struny odpowiadające niższym dźwiękom owija się drutem miedzianym.

Dodajmy, że struny fortepianu są napięte bardzo mocno. Na każdą przypada od 70 do 150 kg naciągu (cała rama fortepianu musi wytrzymać nawet ponad 17-25 ton). Jednak do pewnego stopnia prawdą jest, że tym lepsze basy, im dłuższe struny. Przewaga brzmienia fortepianu koncertowego nad pianinem bierze się w dużej mierze stąd, że w fortepianie struny basowe są długie i stosunkowo cienkie.

Klawiszy w fortepianie jest zazwyczaj 88: od najniższego A (z podwójnym podkreśleniem) do c⁵. Spodziewać by się można, że strun będzie tyle samo, ale tak nie jest. Strun jest prawie trzy razy więcej, bowiem większości klawiszy odpowiadają po trzy struny, części po dwie, zaś tylko niewielkiej liczbie po jednej. Zwielokrotnione są struny wiolinowe (te od wysokich dźwięków), gdyż basowe brzmią od nich mocniej i grający miałby instrument o niezrównoważonym natężeniu dźwięku.

Stroiciel ma przed sobą dwa zadania: po pierwsze: dostroić różne dźwięki między sobą, aby ich wzajemne relacje były w jakiś sposób 'dobre'; po drugie: dostroić struny w obrębie jednego klawisza.

Przyjrzyjmy się na razie tej drugiej czynności: załóżmy, że mamy zestroić ze sobą dwie struny w obrębie jednego dźwięku. Konkretnie mamy jedną 'wzorcową' strunę, drugą zaś mamy dostroić do niej. Wydajemy z obu dźwięk o mniej więcej tym samym natężeniu. Co się dzieje?

Dla uproszczenia zajmijmy się tylko tonem podstawowym, czyli falą sinusoidalną. Załóżmy, że jedna struna drga z częstotliwością a, druga - z b (różną od a) oraz że te częstotliwości są bliskie. Jaki jest efekt?
Ze szkolnych wzorów mamy: sinax + sinbx = 2sin$\frac{a+b}{2}$x·cos$\frac{a-b}{2}$x.
Gdybyśmy mieli tylko człon sin$\frac{a+b}{2}$x, byłaby to zwykła fala sinusoidalna (na rysunku zaznaczona linią ciagłą). Musimy to jednak przemnożyć jeszcze przez 2cos$\frac{a-b}{2}$x (na rysunku linia przerywana).

W efekcie dostajemy coś takiego:

Odbieramy to tak, jakbyśmy słyszeli dźwięk o częstotliwości $\frac{a+b}{2}$, ale 'pulsujący' z częstotliwością a-b (dwa razy większą niż częstotliwość cosinusa we wzorze). Zauważmy, że im bliższe są częstotliwości a i b, tym wolniejsze jest to 'pulsowanie', a kiedy częstotliwości się zrównają, ustaje ono zupełnie. Patrząc na to bardziej fizycznie, a mniej 'wzorkowo-trygonometrycznie': dwie fale o różnych częstotliwościach w pewnych momentach się wzmacniają, a w innych (gdy są w przeciwnych fazach) - wygaszają. W praktyce rzadko się udaje wydobyć dwa dźwięki o prawie idealnie równej głośności. Nietrudno sobie jednak wyobrazić, co się będzie działo, gdy jeden z dźwięków będzie istotnie mocniejszy. Jeśli mamy fale o różnych amplitudach, np. a₁ i a₂, to amplituda ich sumy będzie się wahała między wartościami |a₁-a₂| i a₁+a₂, zaś częstotliwość sumy też będzie częstotliwością pośrednią (choć już odrobinę zmienną w czasie).

Wiemy zatem, jak dostrajać struny w obrębie jednego klawisza. Niestety, nawet doskonałe nastrojenie każdego klawisza z osobna nie wystarczy do tego, by fortepian był nastrojony. Trzeba jeszcze różne klawisze nastroić względem siebie nawzajem. Fortepian stroi się wychodząc od jednego, wzorcowego dźwięku (zazwyczaj a¹, czyli zgodnie z normami obowiązującymi od kilkuset lat, 440 Hz, chociaż czasem stosuje się inne stroje, zwłaszcza gdy fortepian dostraja się do orkiestry, która ma zwyczaj grać przy stroju 443 Hz). Do niego dostraja się następny, do niego kolejny itd. Ponieważ za prawie każdy dźwięk odpowiadają trzy struny, dwie z nich w czasie strojenia się tłumi.

Uderzamy zatem w dwa klawisze. Jak stwierdzić, czy są one dobrze nastrojone względem siebie nawzajem? Tutaj przyda nam się wiedza na temat barwy: grając na fortepianie pojedynczy dźwięk, wywołujemy nie tylko ton podstawowy, ale również alikwoty. Strojenie polega na wychwyceniu dudnienia odpowiedniej składowej harmonicznej niższego dźwięku z odpowiednią składową dźwięku wyższego, następnie na takim operowaniu kluczem do strojenia, aby zmniejszyć częstotliwość tego dudnienia, choć jak się potem okaże, niekoniecznie do zera.

Interwał to odległość między dwoma dźwiękami, czyli różnica ich wysokości (czy innymi słowy: iloraz częstotliwości). Poszczególne interwały maja swoje nazwy. Oto 12 najmniejszych (dla uproszczenia zakładamy, że wszystkie jako niższy dźwięk mają c, choć oczywiście wszystkie te interwały mogą się "zaczynać" od dowolnych dźwięków).

W artykule Harmonia liczb pisaliśmy, że pitagorejczycy zauważyli, że miłe dla ucha są interwały pomiędzy dźwiękami, których ilorazy częstotliwości wyrażają się jako stosunki małych liczb naturalnych, np.:

2 : 1 = oktawa
3 : 2 = kwinta
4 : 3 = kwarta
5 : 3 = seksta wielka
5 : 4 = tercja wielka
6 : 5 = tercja mała.

Interwały o liczniku równym 7 brzmią już fałszywie.

Najłatwiej stroiłoby się pianino za pomocą oktawy. Wystarczyłoby porównywać drugą składową harmoniczną niższego dźwięku z tonem podstawowym wyższego. Niestety, wychodząc od jednego dźwięku, bylibyśmy w stanie nastroić w ten sposób sześć, góra siedem innych. Przyjrzyjmy się zatem kwincie. Uderzając dwa klawisze, porównujemy trzecią składową niższego dźwięku (oktawa i kwinta) z drugą składową wyższego (oktawa). Są to alikwoty o 'niskich numerach', więc są dosyć dobrze słyszalne. Gdybyśmy, zaczynając od jednego dźwięku, szli cały czas w górę, klawiatura szybko by się skończyła. Ale od czego jest oktawa? Jeśli wyjdziemy za bardzo w górę, możemy 'skoczyć' o oktawę w dół. Praktyka jest taka, że stroi się dźwięki w obrębie środkowej (razkreślnej) oktawy i jej okolic, a następnie do nich już oktawami dostraja się resztę klawiatury.

Strojenie ze 'schodzeniem' raz na jakiś czas o oktawę w dół przypomina trochę działanie w grupie Z₁₂. Kwinta to 7 półtonów, oktawa to 12 i są to liczby względnie pierwsze, więc możemy używając samych kwint nastroić wszystkie dźwięki z oktawy. Wychodząc od jakiegoś dźwięku, powiedzmy a¹ i przechodząc po wszystkich 12 dźwiękach z zakresu wybranej oktawy, trafimy z powrotem na a¹. I tutaj czeka nas przykra niespodzianka - dźwięk, który otrzymaliśmy, wyraźnie różni się od naszego wyjściowego a¹. Dlaczego?

Na tym muzycy 'zawiesili' się na wiele stuleci. Już w czasach Pitagorasa wyliczono tę niedokładność (nazywając ją komatem pitagorejskim), ale nie było wtedy praktycznej potrzeby rozwiązania tej kwestii, bo nie było przecież fortepianów. Problem wypłynął wraz z pojawieniem się instrumentów o stałym stroju: organów, klawikordów, a później klawesynów. Radzono sobie z nim strojąc te instrumenty tak, że dało się na nich grać tylko w niektórych tonacjach. W średniowieczu czy renesansie nie przeszkadzało to zbytnio, ale już w baroku zaczęło wyraźnie dawać się we znaki.

Pojawiały się różne pomysły rozwiązania, np. skale dźwiękowe, w których na cztery oktawy przypadało 77 klawiszy (19 na oktawę). Już pitagorejczycy wymyślili skalę, która w oktawie miała aż 35 dźwięków (patrz wykres w artykule Harmonia liczb). Budowano też instrumenty, które miały pięć klawiatur jedna nad drugą. Oczywiście były one zupełnie niepraktyczne. Dopiero w pierwszej połowie XVIII wieku pojawił się pomysł temperowania skali.

Ucho ludzkie ma pewną tolerancję na niedoskonałości (to zjawisko jest nazywane strefowością słuchu) i jeśli dany interwał odrobinę zmniejszymy, nadal będziemy słyszeć ten interwał, a nie jakiś niedostrojony dwudźwięk.

Zaczęto więc stroić instrumenty, temperując każdą kwintę o dwunastą część komatu pitagorejskiego. Wtedy, po obejściu dwunastu dźwięków, rzeczywiście trafia się w wyjściowy dźwięk. Strój równomiernie temperowany polega na tym, że różnica wysokości między wyższym a niższym dźwiękiem półtonu jest taka sama dla wszystkich półtonów. Skoro dwanaście półtonów ma się złożyć do oktawy (czyli częstotliwość wynikowa ma być dwa razy większa od wyjściowej), to iloraz częstotliwości wyższego i niższego dźwięku z dowolnego półtonu musi być równy $\sqrt[12]{2}$.

I tutaj widzimy powód, dla którego fortepianu nie da się czysto nastroić: $2^{\frac{7}{12}}\neq\frac{3}{2}$,
gdzie $2^{\frac{7}{12}}$ to interwał złożony z siedmiu półtonów temperowanych, czyli kwinta temperowana, a 3/2 to kwinta czysta.

Małe różnice wysokości dźwięków określa się w centach [ct]. Sto centów daje jeden półton, czyli jeden cent to $\sqrt[100]{\sqrt[12]{2}}=2^{\frac{1}{1200}}$. Jeśli zatem mamy dźwięki o częstotliwościach a i b, to ich różnica wyrażona w centach
jest równa 1200 log₂$\frac{a}{b}$.

Tymczasem komat pitagorejski w centach jest równy: 1200 log₂$\frac{(3/2)^12}{2^7}\approx 23,5$,
zatem różnica między kwintą czystą i temperowaną to tylko około 2 ct.

Może warto spróbować z innymi interwałami? Spójrzmy na poniższe zestawienie.

W przypadku kwinty i kwarty (nie licząc oktawy) różnica między interwałem czystym i temperowanym jest najmniejsza. Oprócz tego przy strojeniu innymi interwałami trudnością byłoby wychwycenie wysokich alikwotów (np. przy septymie wielkiej trzeba byłoby porównywać odpowiednio 15. i 8. składową odpowiednich dźwięków, co jest praktycznie niewykonalne). W praktyce stosuje się albo strojenie kwintami (ze schodzeniem raz na jakiś czas oktawami w dół), albo schemat 'kwinta w górę - kwarta w dół - kwinta w górę - kwarta w dół' itd., raz na jakiś czas schodząc w dół o dwie kwarty.

Stroiciel wie, jakiej częstotliwości dudnienia powinien wysłyszeć. Dla oktawy razkreślnej, od której zaczyna się strojenie, jest to mniej więcej 0,9-1,4 Hz. Dla pewności jednak w trakcie strojenia co pewien czas sprawdza się, czy brzmią inne interwały, np. tercje. Jeśli nie, poprawia się strojony właśnie dźwięk i delikatną korektę nanosi również na dźwięki poprzednie.

Część ludzi nie akceptuje stroju równomiernie temperowanego. Ich zdaniem zubaża to dźwięk, potęgę i piękno brzmienia interwałów. Tak naprawdę niewiele osób jest w stanie wysłyszeć różnicę między interwałem czystym a temperowanym. Są to przede wszystkim muzycy mający do czynienia z instrumentami bezprogowymi, np. skrzypcami lub innymi, na których można osiągać wszystkie pośrednie częstotliwości. Mają oni bardzo dobrze wyćwiczony słuch i słyszą niuanse niedostępne dla zwykłego człowieka.

Ucho ludzkie nie słucha do końca matematycznych reguł. Badania wskazują, że większość ludzi dźwięki wysokie odbiera jako trochę niższe niż by wskazywała ich częstotliwość. Z drugiej strony, struny też nie do końca poddają się prostemu matematycznemu opisowi. Są zrobione ze sztywnych kawałków stali. Ta sztywność powoduje, że w najwyższych dźwiękach wysokie składowe brzmią wyżej niż powinny. Pierwszy z podanych powodów jest argumentem za rozszerzeniem stroju w wysokiej części klawiatury, drugi - wręcz przeciwnie. W praktyce niektórzy stroiciele w skrajnych częściach klawiatury odrobinę zwężają strój, inni rozszerzają, a jeszcze inni stroją zgodnie z równomierną temperacją. Często uzależniają to od brzmienia konkretnego instrumentu: jeśli jest zbyt matowe, wystarczy nastroić fortepian trochę szerzej i brzmienie się odrobinę wyostrzy i na odwrót.

Również w obrębie jednego klawisza niektórzy nie stosują idealnie równych wysokości. Trzeba pamiętać, że w praktyce mamy do czynienia nie z matematycznym, doskonałym modelem, a z fizycznym instrumentem, ze wszelkimi jego niedokładnościami, z nieregularnym filcem na młoteczkach itd. Nigdy nie zdarza się, żeby młoteczek pobudził wszystkie trzy struny idealnie w tym samym momencie. A jeśli zdarzy się wzbudzić dwie fale o tych samych częstotliwościach, ale w przeciwnych fazach, będą one nawzajem się wygaszały zamiast wzmacniać, w efekcie czego do płyty rezonansowej zostaną przekazane drgania bardzo słabe. Właśnie po to, by uniknąć tego problemu, struny w obrębie jednego klawisza delikatnie się rozstraja, tak by różnice nie przekroczyły jednego centa.

Zatem fortepianu nie da się nastroić czysto, tak by jednocześnie nie było żadnych przykrych dla ucha dudnień oraz by dało się na nim grać wszystko we wszystkich tonacjach. Jednak niedoskonałość naszego ucha, jego tolerancja sprawiają, że strój równomiernie temperowany jest nie tylko wygodny, ale zupełnie zadowalający.

http://www.daktik.rubikon.pl/Slowniczek/akustyka.htm
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dzwiek_muzyczny