Dlaczego zerowa potęga daje zawsze 1?

W matematyce jedną z najważniejszych rzeczy jest definicja. Z nią nie należy polemizować, a nawet uzasadniać matematycznie. Owszem uzasadnienia estetyczne i pragmatyczne są jak najbardziej potrzebne. Pozwalają lepiej zrozumieć idee, jakie kłębiły się w głowie matematyka - twórcy definicji. Ale i sama definicja bez potężnego aparatu twierdzeń i innych definicji nic nie wniesie w świat matematyczny, będzie bezużyteczna. Dlatego powyższe rozumowanie uzasadniające dlaczego liczba dodatnia podniesiona do potęgi 0 daje 1, można przyjąć jedynie w sferze pragmatycznej. Jest to tylko definicja pewnego symbolu. W sposób pragmatyczny i estetyczny nie da się już zdefiniować symbolu "zero do potęgi zerowej". No bo dziedzinę jakiej funkcji ciągłej w R+ poszerzyć o {0}, by dalej była ona ciągła? Kandydatów jest kilku, różnych odpowiedzi też kilka. Zatem nie zawsze jest 1.

To bardzo ciekawe "kłopotliwe pytanie": dlaczego a⁰=1 zawsze poza przypadkiem a=0. Symbol 0⁰ można zdefiniować jakkolwiek, ale ze względów pragmatycznych warto nie zburzyć przy tym wprowadzonych już własności potęgowania. W szczególności ciągłości. Mamy przecież konkretne implementacje (każdy z poniższych ciągów w granicy reprezentuje 0⁰):

[tex](\frac{1}{n})^{ \frac {1}{n}} \rightarrow1[/tex]
[tex](\frac{1}{2^n})^{ \frac {1}{n}} \rightarrow \frac{1}{2}[/tex]
[tex](\frac{1}{3^n})^ {\frac {1}{n}} \rightarrow \frac{1}{3}[/tex]
[tex](\frac{1}{n^n})^ {\frac {1}{n}} \rightarrow 0 [/tex]
Nie ma zatem żadnego naturalnego kandydata na wartość symbolu 0⁰. Dlatego pozostaje on symbolem nieoznaczonym. Wytłumaczenie jest podobne do tego, jakiego użyto przy określaniu wyniku dzielenia zera przez zero.

Mało pouczające wytłumaczenie. "Lepsze" jest wytłumaczenie wzięte bezpośrednio z a⁰, czyli 0^1/n=0 i dla zachowania ciągłości funkcji f(x)=0^x mamy 0⁰=f(0)=0.

Wpis WB to doskonały przykład jeszcze jednego "kłopotliwego pytania", ale nie zapominajmy, że do działu "Dodatki dla nauczyciela" mogą zaglądać także uczniowie. Więc wyraźnie informujemy, że 0⁰ to nie jest 0. Powód, dla którego ten symbol nie ma żadnej wartości liczbowej, pokazała wcześniej Karola.

Jeżeli pomnożymy 1 przez x, robiąc to y razy, wyjdzie x do potęgi y.
Jeżeli y=0, mnożymy 1 przez x zero razy, czyli nie mnożymy wcale, więc zostaje 1. Prawdziwe dla każdego rzeczywistego x oprócz 0, ale to już osobny rozdział :)

Znalazłem to na jakimś forum. Nic nie zrozumiałem z bełkotu, który tu wypisujecie.
xⁿ = 1·xⁿ = 1 · x · x · ... · x. Gdy n=0, x-ów jest 0, zostaje jedynka.

W tym wieku warto jednak czytać i rozumieć, co się czyta. Napisałeś to samo, co wpisujący przed Tobą. Widocznie cytujecie to samo źródło. A w ogóle to po co wchodzisz w teksty pisane dla nauczycieli? Wchodzisz na własne ryzyko, wiec nie narzekaj, że nie rozumiesz.

Nie zgadzam się z poglądem, że z definicjami nie należy polemizować. Matematykę tworzą ludzie i to ludzie decydują o definicjach. Spośród różnych możliwych uzgadniają jedną (najlepszą) i jej się trzymają, choć zdarza się, że i to się zmienia. Przykładem są liczby naturalne historycznie zaczynające się od 1, ale coraz częściej do liczb naturalnych zalicza się 0. Warto i należy mówić uczniom, dlaczego akurat taką definicje przyjęto.
Sama definicja tylko teoretycznie nic nie zmienia. Praktycznie organizuje myślenie.
Zero do potęgi zerowej oczywiście można bez problemu zdefiniować, na przykład przyjąć, że jest to 0. A że nie da się uciąglić funkcji x^y dla x=0 i y=0, to zupełnie inny problem.

Dla x = 0 też to zadziała. mnożymy 1 przez 0 zero razy czyli nie mnożymy wcale i zostaje 1.

Jakikolwiek pierwiastek z zera nie jest równy zeru, bo nie istnieje, dlatego zero do zera nie jest równe 1 ani 0.
Wszystkie definicje mają swoje załozenia, zatem jak ich używamy, róbmy to kpleksowo.

tak, takie wyjaśnienie jest logiczne i eleganckie

Jakikolwiek pierwiastek z 0 nie istnieje? Pierwiastek kwadratowy z 0 jest równy 0. Pierwiastek sześcienny z 0 jest równy 0...każdy pierwiastek z 0 jest równy 0...

Przeciez to takie łatwe do wytlumaczenia uczniom. Jak widze nauczycielom te sie to wytlumaczenie przyda. ;)
Na przykladzie z zycia wziete:

Masz ciasto drozdzowe. Chcesz z niego zrobic paczki, wszystkie rownej wielkosci.

1 ciasto - stan poczatkowy to 2 do potęgi zero czyli 1. (Dziasto jeszcze jest nie podzielone; zero podziału, zero potęgowania).

Potem dzielisz to ciasto na pol, wychodza dwa kawalki. To 2 do potegi 1 czyli 2. (Pierwszy podzail)
Potem kazda ta z dwoch częsci dzielisz na pól. Wychodza 4 rowne kawalki. To 2 do potęgi 2.
Potem kazda z tych części dzielisz na dwa. Wychodzi 8 kawalków. Czyli 2 do potegi 3.
I tak dalej. To nic ze paczki sa coraz mniejsze.. ale chodzi o ilosc, a nie wielkośc. A ilośc poączkow sie potęguje.

Teraz do 3 potegi.

Masz jedno ciasto. 3 do potegi 0. To jeden.
Dzielisz ciasto na 3 czesci. Czyli pierwsze dzielenie na trzy czesci. Czyli 3 do potegi 1.
Potem kazda z tych czesci dzielisz na 3 częsci. Wychodzi 9 kawałkow. Czyli 3 do potegi 2..

I tak dalej....

Zatem zawsze cokolwiek podniesione do potegi 0, to 1. Bo to stan poczatkowy.

Proste? Proste. :D

Biedne dzieci !!!
Aga, ukończyłem dawno temu studia techniczne (mgr-inż.) w renomowanej uczelni, matematyki uczył mnie min. prof. Leitner i prof. Sierpiński, ale po Twoim wywodzie zrobiło mi się z mózgu ciasto.
Nie mogę zrozumieć w jaki sposób chcesz podzielić na dowolna ilość części brak ciasta (czyli zero ciasta).
Jeśli nic Ci nie wypączkuje, spróbuj dodać więcej drożdży ;-)

Dlaczego x^0=1?
x^0=x^(n-n), gdzie n to dowolna liczba naturalna, a więc n-n=0;
x^(n-n)=x^n / x^n =1
A dlaczego 0^0 jest nieoznaczone - ponieważ dzieląc 0^n przez 0^n mamy dzielenie przez zero w mianowniku. Dziękuję.

To nie jest dobre wytłumaczenie.
"^(n-n)=x^n / x^n =1"
Wszystko podzielone na górze, przez to co jest na dole da nam 1. POD WARUNKIEM, ŻE NIE JEST TO 0.
Twoje wytłumaczenie że x^0 = 1 zakłada, że x^0 nie jest zerem. Ok, to jest prawda, ale udowadnianie tezy nie polega na założeniu, że jest ona prawdziwa.
To tak, jakbyś udowadniał dlaczego licza Pi = 3,14 w przybliżeniu i zaczął dowód od "załóżmy, że Pi = 3,14".