Jak Bach wynalazł wstęgę Möbiusa?

O Janie Sebastianie Bachu (1685-1750) słyszał chyba każdy. Ten genialny niemiecki kompozytor i organista okresu baroku jest do dziś jednym z najpopularniejszych twórców muzyki klasycznej. W grze na organach osiągnął najwyższy poziom wirtuozerii, jest też autorem ponad 1000 znaczących utworów oraz setek dzieł mniej znanych lub całkowicie zapomnianych. Okazuje się, że w muzyce Bach odkrył figurę nazywaną w topologii wstęgą Môbiusa i to na 100 lat przed wynalezieniem jej w matematyce!

***

O działach sztuki inspirowanych wstęgą Möbiusa pisaliśmy na Portalu tutaj, a o jej zastosowaniach praktycznych - tutaj. Zajrzyj do tych artykułów koniecznie. My tymczasem przypomnijmy sobie najważniejsze matematyczne własności tej powierzchni. Jako pierwszy opisał je niemiecki matematyk August Ferdynand Möbius w1858 roku.

• powstaje przez sklejenie przeciwległych boków prostokąta, przy czym jeden z tych boków obracamy uprzednio o 180°,
• jest powierzchnią jednostronną, o czym można przekonać się, prowadząc pisak wzdłuż równika papierowego modelu takiej powierzchni (bez odrywania pisaka i bez przekraczania brzegu znajdziemy się raz po jednej raz po drugiej stronie kartki),
• ma brzeg będący linią zamkniętą - okręgiem,
• zamienia stronę prawą i lewą, jeśli obejdziemy ją dookoła i wrócimy do punktu wyjścia.

A teraz sprawdźmy, jak te wszystkie własności wykorzystał w swojej muzyce J. S. Bach. Mowa jest tu konkretnie o krótkim utworze z dzieła "Musikalisches Opfer" (niem. muzyczne ofiarowanie) - jednym z ostatnich w dorobku kompozytora (1747). Inspiracją do jego powstania była wizyta Bacha 7 maja 1748 na dworze króla pruskiego Fryderyka II w Poczdamie pod Berlinem, gdzie jego syn Carl Philipp Emanuel Bach pełnił funkcję klawesynisty. Król, który odebrał staranne wykształcenie muzyczne i sam był flecistą oraz kompozytorem, zagrał Bachowi temat, a następnie poprosił o zaimprowizowanie fugi. Bach nie spełnił wówczas prośby króla i zaprezentował fugę na własny temat, ale po powrocie do Lipska postanowił zmierzyć się z tym zadaniem. W ten sposób powstał dedykowany władcy cykl utworów - niezwykle kunsztownych kanonów i skomplikowanych fug, które autor określił dawną nazwą "ricercar" (od włoskiego szukać). W liście do króla Bach napisał: "Waszej Królewskiej Mości poświęcam niniejszym z najgłębszym oddaniem tę muzyczną ofiarę, której najszlachetniejsza część z najłaskawszej własnej ręki Waszej pochodzi. Z pełną czci radością wspominam jeszcze szczególną łaskę królewską, gdy w czasie mej niedawnej bytności w Poczdamie raczył Wasza Królewska Mość osobiście zagrać mi na klawesynie temat do fugi, najłaskawiej mnie przy tym zobowiązując, aby takową w najwyższej obecności Waszej zaraz wykonał".

Jednym z utworów wchodzących w skład "Musikalisches Opfer" jest kanon zatytułowany przez autora "Quaerendo invenietis" (łac. szukajcie a znajdziecie). Forma kanonu wymaga, aby wiodąca melodia była w pewien sposób imitowana. Najczęściej spotykane są kanony z opóźnieniem (np. znany utwór "Panie Janie"), ale istnieją także inne typy. Jednym z nich jest kanon-rak. Jest to muzyczny odpowiednik literackiego wiersza-raka, który czyta się najpierw w przód, a dalszy ciąg powstaje przy czytaniu wspak. Kanon-rak jest także grany kolejno w przód i w tył. Często ma też odwrócony porządek dźwięków, np. FABACEAE i EAECABAF, czyli jest swoistym muzycznym palindromem. Ale w tym przypadku obie melodie powinny dodatkowo dobrze współbrzmieć, gdy są wykonywane jednocześnie (jest to tzw. retrogresja). Jednak to nie koniec, gdyż w utworze Bacha mamy dodatkowo do czynienia z inwersją, czyli odwróceniem zapisu nutowego do góry nogami przez jednego z muzyków (tzw. kanon stolikowy - nuty leżą na stole pomiędzy dwoma grającymi i każdy czyta je, traktując pięciolinię jakby narysowana była od jego strony). Oba powyższe efekty (retrogresji i inwersji) łączy tzw. kanon lustrzany - nuty odwraca się do góry nogami i dodatkowo czyta w lustrzanym odbiciu. A to już nieodparcie kojarzy się ze wstęgą Möbiusa, gdyż właśnie tak (do góry nogami i w odbiciu lustrzanym) wygląda tekst czytany na wstędze - koniecznie obejrzyj fantastyczny film Vi Hart Wind and Mr. Ug.

Wróćmy jednak do Bacha. W rękopisie jego Krebskanon (niem. kanon-rak) to zaledwie jednolinijkowy zapis prostej melodii, ale autor podpowiada - szukajcie, a znajdziecie. Daje on bowiem wiele możliwości interpretacji, a wykonanie tego utworu odsłania cały kunszt muzyczny kompozytora. Co się stanie, gdy tę prostą melodię zagramy jednocześnie wprzód i wspak? A co gdy zapis nutowy przeczytamy jednocześnie wprost i do góry nogami? A jeśli połączymy oba te tricki? Czyli co usłyszymy, umieszczając nuty na wstędze Möbiusa? Wyjaśnia to poniższy film autorstwa Josa Leysa - znanego poszukiwacza związków matematyki ze sztuką. Popatrzcie i posłuchajcie! (źródło: http://www.youtube.com/watch?v=xUHQ2ybTejU)