Zadania 31-40

Zauważmy, że liczba [TEX](7-4 \sqrt{3})^{2009}=\frac{1}{(7+4\sqrt{3})^{2009}} < \frac{1}{10^{2009}} , [/TEX]a więc ma ponad 2000 zer po przecinku. Natomiast suma [TEX](7-4\sqrt{3})^{2009}+(7+4\sqrt{3})^{2009}[/TEX]jest liczbą naturalną, więc szukane cyfry po przecinku drugiego składnika muszą być dziewiątkami.

Tak naprawdę, to jest ich tam ponad 2000, a nie tylko 7.

ZADANIE 32 (4 VII 2009)

Mamy 3 kostki sześcienne. Podpisujemy każdą ściankę jedną z cyfr od 0 do 9, według uznania. Zestawiając tak opisane kostki, możemy tworzyć różne liczby od 1 aż (być może) do  999. Jak powinny być opisane kostki, aby można było ułożyć kolejne liczby naturalne od 1 aż do największej możliwej? Jaka jest ta największa liczba? Jaki jest ogólny sposób postępowania przy 4, 5,..., n kostkach, aby dojść do największej możliwej liczby? Jaka to będzie liczba?

Przy trzech kostkach udało mi się dojść od 1 do 87, ale może da się wycisnąć więcej...

Nie wiem, jak to uogólnić, ale idea właściwego rozwiązania prawdopodobnie jest podobna, więc przedstawię rozwiązanie dla n=3.
Na trzech kostkach wpisujemy łącznie 18 cyfr. Aby móc ułożyć liczby od 1 do 99 musimy w szczególności ułożyć 0, 11, 22, ..., 88, 99, więc potrzebujemy zera i po dwie jedynki, dwójki, ..., dziewiątki. A to daje 19 cyfr. Zatem do 99 nie dojdziemy. Za to łatwo możemy dojść do liczby 98, wpisując na ściankach:
1. kostka - 0, 1, 2, 3, 4, 5
2. kostka - 6, 7, 8, 9, 1, 2
3. kostka - 3, 4, 5, 6, 7, 8

W takim razie największą liczbą dla n=4 jest 554, bo nie ma miejsca na trzecią piątkę (4. kostka musi zawierać cyfry niezbędne wcześniej: 9, 0, 1, 2, 3, 4), a liczby od 99 do 554 można już łatwo ułożyć.

Dla n=5 największą liczbą jest 1110, bo każda z 10 cyfr musi występować trzykrotnie, co daje 30 ścianek (dokładnie tyle, ile jest na 5 kostkach) i brakuje miejsca na czwartą jedynkę. Łatwo sprawdzić, że wszystkie liczby mniejsze od 1111 są układalne.

Ogólna odpowiedź powinna być taka: jeśli 6n:10 = k reszta r, gdzie k [tex]\in[/tex]N, 0 ≤ r < 10, to pierwsza liczba nieukładalna jest złożona z k+1 cyfr r+1. To, że takiej liczby ułożyć się nie da, jest oczywiste (brakuje miejsca na k+1-wszą cyfrę r+1), a uzasadnienie tego, że mniejsze od niej dadzą się ułożyć, o ile cyfry na dalszych kostkach wpisujemy kolejno, powinno być rekurencyjne, ale może ktoś to jeszcze sprawdzi i potwierdzi.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny przecięto płaszczyzną, która przecina wszystkie krawędzie boczne kolejno w punktach A₁, A₂, ..., A₆. Te punkty przecięć połączono odcinkami co trzeci (tzn. A₁ z A₄, A₂ z A₅ i A₃ z A₆). Uzasadnij, że te odcinki mają punkt wspólny.

Wynika to z twierdzenia Brianchona.

Nie znam tego twierdzenia. Możesz chociaż napisać, o czym ono jest? W szkole tego nie ma.

Zadanie jest elementarne i do jego rozwiązania wystarczy standardowa wiedza z gimnazjum. Pojawiło się zresztą w OMG w ubiegłym roku.

Wystarczy spojrzeć na ten ostrosłup z góry :-) a dokładniej - przyłożyć oko do wierzchołka, by stwierdzić, że punktem wspólnym tych odcinków będzie wierzchołek ostrosłupa, a raczej jego rzut na płaszczyznę tnącą, tzn. przecięcie tej płaszczyzny z wysokością ostrosłupa. A poza tym punkty A₁, ..., A₆ bez względu na położenie płaszczyzny tnącej leżą na odpowiednich krawędziach bocznych, te zaś łączą się w wierzchołku. Zatem w widoku z góry krawędzie boczne ostrosłupa w wyniku rzutowania pokryją się z odcinkami z zadania. Rzutowanie zachowuje przecinanie się prostych.

Przecięcie odcinków A₁A₄ i A₂A₅ leży w przecięciu płaszczyzn OA₁A₄ i OA₂A₅, czyli na prostej zawierającej wysokość. Na tej samej prostej leżą przecięcia pozostałych par odcinków. Owa prosta przecina płaszczyznę tnącą w jednym punkcie. To ów punkt jest punktem wspólnym odcinków.

Ponieważ autor poprzedniego rozwiązania w zadanym czasie nie wpisał następnego zadania, aby nie przerywać łańcucha, kolejne zadanie pochodzi od redakcji Portalu.

Jaka jest reszta z dzielenia liczby, której zapis w systemie dziesiętnym składa się z 2009 dwójek, przez 9?

Ponieważ dowolna liczba składająca się z 9n takich samych cyfr c jest podzielna przez 9 (suma jej cyfr wynosi 9nc) otrzymujemy:
[tex]\overbrace{222\ldots2}^{2009}=\overbrace{222\ldots2}^{2007}\cdot100+22[/tex]

Ponieważ pierwszy składnik jest podzielny przez 9, zatem ostatecznie reszta wyniesie 4.

W pewnym kraju żyją dwa plemiona tubylcze: Takonowie i Nienoci. Takonowie zawsze mówią prawdę, Nienoci zaś zawsze kłamią. Pewien turysta na rozdwojeniu dróg spotkał tubylca. Jedna z tych dróg prowadziła do stolicy. Jakie pytanie (jedno!) powinien mu zadać, aby dowiedzieć się, która to droga?

Wystarczy zadać tubylcowi pytanie: Którą drogę do stolicy wskazałby mi przedstawiciel innego plemienia niż Twoje? Jeśli napotkanym tubylcem jest Takon, wskaże złą drogę (zgodnie z prawdą), jeśli jest nim Nienot, też wskaże złą drogę (bo skłamie). Zatem w obu wypadkach należy wybrać drogę różną od wskazanej.

Jakie wartości przyjmują wyrazy ciągu a_n = NWD(16n-1, n+1)?

NWD(16n-1, n+1) = NWD(16n-1, 16n-1-16(n+1)) = NWD(16n-1, -17) =
NWD(16n-1, 17) = NWD(17n-n-1, 17) = NWD(n-1, 17) = NWD(n+1, 17).

Wyrazy ciągu przyjmują więc wartości 0, 1, 2, ..., 16.

Zadanie niby proste, ale powyższa odpowiedź jest błędna.

NWD(16n-1, n+1) = NWD(17n, n+1).

Ponieważ n i n+1 są względnie pierwsze NWD(16n-1, n+1) = NWD(17, n+1) [tex]\in\{1, 17\}[/tex],
zatem ciąg przyjmuje (okresowo) tylko dwie wartości.

Jaś napisał na kartce pewien wielomian P, który ma wszystkie współczynniki całkowite, nieujemne. Małgosia chce odgadnąć ten wielomian, zadając Jasiowi dwa pytania o wartości tego wielomianu w konkretnych punktach (np. ile wynosi P(12)?). Jak ma to zrobić?

Skoro współczynniki wielomianu są nieujemne, to P(1) jest niemniejsze niż największy ze współczynników. Wystarczy teraz wybrać takie N, aby 10^N > P(1). Kolejne współczynniki wielomianu będą równe odpowiednim N-kom cyfr liczby P(10^N), z ew. dodatkowymi zerami wiodącymi. Zatem wystarczy zapytać o P(1) oraz P(10^N).

Uwaga. Już znajomość P(π) pozwala wyznaczyć jednoznacznie współczynniki wielomianu, bowiem kolejne potęgi liczby π są liniowo niezależne nad pierścieniem liczb całkowitych. Rozumiem jednak, że w zadaniu chodziło o to, by odgadnąć współczynniki bez skomplikowanych obliczeń i nadmiernej teorii.

Powyższe rozwiązanie stanie się jaśniejsze, jeśli zilustrujemy je przykładami.

A) P(x) = 17x³ + 11x² + 7x + 4. Mamy 10² > P(1) oraz
P(10²) = 17(10²)³ + 11(10²)² + 7(10²) + 4 = 17110704 = 17 11 07 04.

B) P(x) = 97x³ + 2x² + 27x + 124. Mamy 10³ > P(1) oraz
P(10³) = 97(10³)³ + 2(10³)² + 27(10³) + 124 = 97002027124 = 97 002 027 124.

Ile wynosi najmniejsza liczba naturalna o tej własności, że przestawiając na początek cyfrę jedności, podwajamy wartość tej liczby?

Niech 10L+a będzie szukaną liczbą, gdzie a jest jednocyfrowe, a L jest dowolną liczbą n-cyfrową. Wtedy z warunków zadania szukana liczba musi spełniać: 2· (10L+a)=10ⁿ·a+L, a po przekształceniu: a·(10ⁿ-2) = 19L. Pozostaje pytanie, czy 10ⁿ-2 i 19 są względnie pierwsze. Ponieważ wielokrotności 19 dają wszystkie możliwe cyfry na miejscu jedności, można spróbować 10ⁿ-2 "podzielić pisemnie" przez 19, tylko od tyłu:
[tex]\overbrace{9999\ldots9}^{n-2}8[/tex] = 9999...960 + 2·19 = 999...9200 + 40·19000 + 2·19 =
= 99...9840000 + 842·19 = 999...9300000 + 6842·19 = 999...93000000 + 76842·19.
Gdybyśmy chcieli kontynuować tę procedurę, cały czas ostatnią niezerową cyfrą będzie 3. Wyklucza to zatem możliwość, aby liczbą 10ⁿ-2 była podzielna przez 19. Stąd z pierwotnej równości wynika, że L=10ⁿ-2 oraz a=19, co prowadzi do sprzeczności z założeniem, gdyż a miało być jednocyfrowe. Ostatecznie nie ma takich liczb, które spełniałyby podany warunek.

Rozwiązanie podane przez Stasia jest błędne. Najmniejszą liczbą spełniającą warunki zadania jest 105 263 157 894 736 842.

Szukamy najmniejszej liczby X takiej, że
X = 10·Y+a oraz 2·X = Y + 10^k · a,
gdzie a - cyfra, Y - liczba k-cyfrowa.

Takie liczby istnieją, np. 368421052631578947368421052631578947368421052631578947.

Rozwiązanie

Niech X = ...gfedcba, gdzie małe litery to cyfry liczby X.

1) Oczywiście a>1.

2) Dla a = 2 obliczamy kolejne cyfry na podstawie mnożenia sposobem pisemnym:
...gfedcb2
             2
___________
  ...gfedcb

Najpierw dostajemy
...gfedcb2
              2
___________
   ...gfedc4        czyli b=4, co wpisujemy 'do góry' i mamy

...gfedc42
              2
___________
   ...gfedc4     skąd c=8 itd.

Pierwszy moment, w którym można przerwać to postępowanie, czyli uzupełnić zapis szukanej liczby zerami (na lewo, w nieskończoność), to ten, w którym 'na dole' wpiszemy cyfrę a (=2) bez żadnego przeniesienia. To daje X podane przez frania.

3) Dla a = 3, 4, ..., 9 można sprawdzić (takim samym rachunkiem), że otrzymane X będą większe.

Obliczając na komputerze otrzymałem:

dla a=3, X=157894736842105263
dla a=4, X=210526315789473684
dla a=5, X=263157894736842105
dla a=6, X=315789473684210526
dla a=7, X=368421052631578947
dla a=8, X=421052631578947368
dla a=9, X=473684210526315789.

Są też inne liczby o szukanej własności, np.:

105263157894736842105263157894736842
105263157894736842105263157894736842105263157894736842
105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736842.

Jaś i Małgosia grają w następującą grę: na stole będącym wielokątem foremnym posiadającym środek symetrii kładą na przemian monety, przy czym oboje mają identyczne zestawy monet. Przegrywa osoba, która nie będzie w stanie położyć następnej monety w taki sposób, by nie dotykała ona żadnej z monet już położonych. Grę zaczyna Jaś. Czy istnieje strategia, która gwarantuje mu stuprocentowe zwycięstwo?

Istnienie strategii wygrywającej dla Jasia zależy od tego gdzie i o jakiej porze roku toczy się gra. Powiedzmy, że jest to stolik we wnętrzu domu (kawiarni itp.) Jaś powinien położyć pierwszą monetę w środku symetrii wielokąta. Potem na każdy ruch Małgosi odpowiada położeniem takiej samej monety jak ona w miejscu symetrycznym do tego, który ona wybrała. Nie przegra, bo jeśli Małgosia znalazła miejsce na położenie swojej monety, to miejsce symetryczne jest jeszcze wolne.

Jeśli gra toczy się na tarasie w upalny dzień, to miejsce w środku symetrii wielokąta jest zajęte przez wystający tam parasol. Wtedy strategię wygrywającą ma Małgosia, która kopiuje ruchy Jasia w sposób opisany powyżej.

Środek symetrii mają tylko wielokąty foremne o parzystej liczbie boków. Czy ktoś wie, jaka jest strategia wygrywająca np. dla stolika trójkątnego?

Janek zabezpieczył komputer sześciocyfrowym kodem ABCDEF, którego zapomniał. Pamięta jednak, że jego cyfry były różne, A było połową sumy B i CD (traktowanej jako liczba dwucyfrowa), a AC było połową sumy BE i FE (wszystkie traktowane jako liczby dwucyfrowe). Jaki był kod wprowadzony przez Janka?

Ten kod to oczywiście 74106.