Plakaty "Mathematical Moments"

Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (American Mathematical Society) opracowało serię plakatów promujących zrozumienie i docenienie roli, jaką matematyka odgrywa we współczesnym świecie, a zwłaszcza w nauce, przyrodzie, technice i kulturze. Matematyka jest dziś ukryta we wszystkich aspektach codziennego życia, ale na ogół ukryta jest tak głęboko, że większość ludzi w ogóle nie uświadamia sobie, że to właśnie ona leży u podstaw wielu zjawisk, odkryć i wynalazków. Plakaty AMS pokazują istnienie matematycznego "drugiego dna" rozmaitych problemów. Seria jest stale uzupełniana o nowe pomysły. Do tej pory przygotowano 73 plakaty podzielone na 4 kategorie: nauka, przyroda, technika i kultura. Doczekały się tłumaczenia na 12 języków. 22 plakaty są opracowane po polsku.

Autorzy udostępnili prawo do produkcji i dystrybucji tych plakatów w celach niekomercyjnych. Można wykorzystać je jako slajdy komputerowe lub wydrukować i powiesić w klasie. Mogą stać się znakomitym punktem wyjścia do zajęć kółka matematycznego.

Tu możesz obejrzeć plakaty polskojęzyczne, a tu wszystkie plakaty z serii "Mathematical Moments".

W 2008 roku Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego przy współpracy Polskiego Towarzystwa Matematycznego wydało drukiem serię 19 plakatów w wersji polskojęzycznej. Oto ich tematy (kolorem zielonym zaznaczono tytuły polskojęzyczne niedostępne w wersji drukowanej):

• w kategorii "nauka"
  Śmiałe wyprawy
  Symulacja galaktyk
  Mapa mózgu
  Eksperymentowanie z sercem
• w kategorii "technika"
  Zwodzenie światła
  Kompresja danych
  Rozpoznawanie mowy
  Namierzanie nowotworów
  Lokalizacja
  Wytyczając trasę
  Grając w grę
• w kategorii "kultura"
  Podkręcając jak Bernoulli,
  Żeglując szybciej
  Rozwiązując sudoku
  Umieszczając muzykę na mapie
  Matematyka stylu
  Czytanie w myślach
  Urzeczywistnianie projektów
  Składanie kawałków
  Składanie papieru - przyjemne i pożyteczne
  Inwestowanie na rynkach finansowych

Oto kilka przykładowych plakatów z krótkim omówieniem ich tematyki. Kliknięcie w plakat powoduje jego powiększenie w osobnym oknie.

Rozwiązując Sudoku. Sudoku jest łamigłówką logiczną i jego rozwiązanie nie wymaga znajomości matematyki. Jednak ciekawe jest stworzenie optymalnej strategii jego rozwiązywania (tzn. prowadzącej do wyniku w najmniejszej liczbie kroków i z najmniejszą liczbą poprawek). Daje też pretekst do postawienia ciekawych pytań, np. jaka jest najmniejsza liczba wypełnionych pól, przy której łamigłówka ma jednoznaczne rozwiązanie? Ile jest możliwych różnych układów sudoku? Do dziś nie wiadomo, czy istnieją "rozwiązalne" sudoku z 16 wypełnionymi polami (dla 17 wiadomo, że tak). Przy zliczaniu poszczególnych układów (a jest ich ponad 5 miliardów) głównym problemem jest wykluczenie symetrii i układów różniących się np. tylko przestawieniem wierszy.   

Składanie papieru - przyjemne i pożyteczne. Wiadomo, że origami rozwija wyobraźnię geometryczną (zapraszamy zatem do działu Origami na Portalu). Czy jednak może stanowić przedmiot poważnych badań naukowych? Okazuje się, że tak. Origami jest wykorzystywane do tworzenia metod efektywnego składania różnych obiektów, które np. ze względów wytrzymałościowych, powinny być wykonane z jednego kawałka materiału. Efektywnego tzn. oszczędzającego przestrzeń, ułatwiającego rozłożenie i nie komplikującego konstrukcji danego obiektu. Stosuje się je do projektowania poduszek powietrznych w samochodzie i wielkich teleskopów kosmicznych. Metody origami wykorzystuje także fizyka molekularna do opisu sposobów zwijania się cząstek białka. 

Symulacja galaktyk. Minie jeszcze sporo czasu zanim ziemska ekspedycja dotrze do którejś z sąsiednich galaktyk lub zanim stosowany przez astronomów sprzęt pozwoli na dokładne obserwacje zachodzących w nich zjawisk. Ale już teraz dzięki matematycznym symulacjom tych skomplikowanych procesów potrafimy tworzyć bardzo dokładne modele odległych galaktyk i przewidywać zachowanie poszczególnych ciał niebieskich, które się w nich znajdują, lub całych gromad galaktyk, które je zawierają. Rozmiary galaktyk, ilość zawartych w nich obiektów, chaotyczność parametrów ich ruchu oraz różnica skali badanych zjawisk powodują, że potrzebne są do tego złożone techniki obliczeniowe efektywnie wykorzystujące niezbyt jeszcze zaawansowane (w stosunku do stopnia komplikacji problemu) możliwości komputerów. 

Składanie kawałków. Kiedy stłuczemy lusterko, poskładanie rozbitych kawałków jest bardzo trudne. Tymczasem archelolodzy z setek fragmentów odtwarzają przedmioty rozbite przed tysiącami lat. Oczywiście dysponują wymieszanymi odłamkami różnych obiektów, a wielu kawałków w ogóle brakuje. Wtedy zwracają się o pomoc do matematyków, którzy skanują odnalezione fragmenty, a potem, używając metod geometrii, trygonometrii, kombinatoryki i statystyki, odtwarzają wygląd antycznego przedmiotu. Modele matematyczne i opisujące je równania różniczkowe pozwalają też pomóc paleontologom w odtworzeniu z fragmentów kości zasad poruszania się dawno wymarłych stworzeń.

Kompresja danych. Dzięki technice cyfrowej zawartość ogromnej biblioteki czy archiwum można zmieścić na płycie CD mieszczącej się w kieszeni. Bardzo ważnym zagadnieniem w rozwoju techniki cyfrowej jest kompresja danych, czyli zastąpienie dużego pliku mniejszym, ale w taki sposób, aby w razie potrzeby odzyskać wszystkie utracone informacje. Wykorzystuje się do tego powiązania między danymi i ich nadmiarowość (tzn. możliwość odtworzenia z niekompletnej informacji - sm sdź cz t dzła). Okazuje się jednak, że nie ma jednej techniki kompresji dobrej dla wszystkich mediów. Algorytmy falkowe wykorzystywane do kompresji grafiki i plików audio nie radzą sobie zbyt dobrze z plikami tekstowymi. Matematycy nadal poszukują metod uniwersalnych.   

Mapa mózgu. Skanery i tomografy komputerowe pozwalają na zajrzenie w głąb naszego ciała i uzyskanie zdjęcia wybranego narządu, np. mózgu. Analiza takich obrazów pozwala zidentyfikować, które części mózgu są odpowiedzialne za różne funkcje życiowe organizmu. Uzyskany płaski obraz przypomina odwzorowanie kuli ziemskiej na dwuwymiarową mapę. Oczywiście nie da się w tym procesie uniknąć deformacji pewnych obszarów. Płaskie mapy trzeba jednak umieć poprawnie interpretować, gdyż obszary, które w rzeczywistości leżą na różnych głębokościach, na mapie mogą leżeć tuż obok. Wykorzystuje się do tego topologię, geometrię sferyczną i hiperboliczną, a zwłaszcza odwzorowania konforemne, które nie zmieniają kątów między liniami łączącymi wybrane punkty. 

Zwodzenie światła. Czapka-niewidka, peleryna-niewidka i bohaterowie, którzy potrafią stawać się niewidzialni, byli do tej pory domeną bajek i powieści fantastycznych. Okazuje się jednak, że znikające przedmioty mogą istnieć w realnym świecie - niewidoczne dla ludzkiego oka, a nawet superczułych radarów. Jest to częściowo zasługą materiałów elektromagnetycznych o wyjątkowych własnościach fizycznych, ale także przekształceń matematycznych, które punkt rozciągają do kuli, zasłaniając to, co jest wewnątrz. Nie są to jedynie rozważania teoretyczne. W eksperymentach fizycznych udało się ugiąć mikrofale na cylindrze w taki sposób, że powróciły one do swoich oryginalnych trajektorii, czyniąc wewnętrzny cylinder zupełnie niewidzialnym.