październik 2021

Zad. 1. Do rozwiązania zadania potrzebna jest wiedza o tym, kiedy zaczyna się nowy wiek (XVIII - w dniu 1 I 1701) oraz które lata są przestępne (o numerach podzielnych przez 4 z wyjątkiem przełomów wieków, które to numery wieków same muszą być podzielne przez 4).

Od roku 1701 do 2020 roku minęło 2020-1700 = 320 lat. Lat przestępnych w tym czasie było 320:4-2 = 80-2 = 78 (pomijamy lata 1800 i 1900). W 2021 roku do 1 X upłynęło  31·5 + 30·3 + 28 = (zabieramy z I składnika 5 dni i wyrównujemy miesiące) 30·5+30·3+30+3 = 30·9+3 = 270+3 = 273 dni. Dodajmy luźne dni 273+78 = 280+70+1 = 351. Do wykonania pozostało mnożenie 365·320 = 365·32·10 = 7300·16 = (73·8)·2·100 = (730–146)·2·100 = (600–16)·2·100 = (1200–32)·100 = (1170–2)·100 = 116800.
Ostatecznie otrzymamy 116800+351 = 117000+151 = 117151 dni.

Zad. 2. Oto lista błędów popełnionych przez ucznia:

1) W zdaniu "Jeżeli..., to...." niezbędny jest przecinek oddzielający zdanie podrzędne.

2) To nie liczba siebie dzieli, ale ktoś dzieli tę liczbę. Lepiej jest powiedzieć "Liczba jest podzielna przez 12...".

3) Cechy podzielności to warunki równoważne podzielności, a nie z niej wynikające (wtedy byłyby bezużyteczne). Zatem: "Liczba jest podzielna przez 12 dokładnie wtedy (lub bardziej formalnie wtedy i tylko wtedy), gdy...." (przecinek nadal jest, bo zdanie pozostaje podrzędne).

4) Podzielność przez liczby złożone jest koniunkcją cech podzielności przez czynniki tych liczb, o ile te są względnie pierwsze. Co prawda 2 i 3 są względnie pierwsze, ale w iloczynie dają 6, więc to mogłaby być cecha podzielności przez 6, a nie przez 12 = 2·2·3 (w tym iloczynie 2 i 2 nie są względnie pierwsze). Zatem należy wziąć koniunkcję cech podzielności przez 3 i 4 (12=3·4 i są to liczby względnie pierwsze).

5) Cyfr nie sumujemy, bo to znaki graficzne. Sumować możemy tylko liczby, podobnie dzielić możemy tylko przez liczby, zatem "Liczba jest podzielna przez 3 dokładnie wtedy, gdy suma liczb jednocyfrowych oznaczanych przez jej cyfry jest podzielna przez 3". Z kontekstu wynika już jednoznacznie, że chodzi o liczbę 3, a nie o cyfrę 3.

6) W treści zadania nie ma tego błędu, ale uczniowie mówią często "Liczba jest podzielna przez 4 dokładnie wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry są podzielne przez 4". To nie jest prawdą, gdyż np. w liczbie 16 żadna z dwóch ostatnich cyfr (ani nawet liczb jednocyfrowych zapisanych tymi cyframi) nie jest podzielna przez 4. Lepiej jest mówić o podzielności dwucyfrowej końcówki liczby. 

Ostatecznie poprawne sformułowanie cechy podzielności przez 12 może brzmieć tak:
Liczba jest podzielna przez 12 dokładnie wtedy, gdy jej dwucyfrowa końcówka jest podzielna przez 4 i suma liczb jednocyfrowych oznaczanych przez cyfry tej liczby jest podzielna przez 3. 

PS. To prawda, że matematycy często używają zwrotu "suma cyfr" i nie mamy nic przeciwko temu, dopóki wszyscy rozumieją, że jest to swoisty idiom języka matematycznego i nie należy rozumieć go dosłownie (kształty znaków nie podlegają sumowaniu, bo nie mają wartości). W języku potocznym jest podobnie, np. zwrot "panna młoda" jest takim samym idiomem, bo to osoba niekoniecznie "młoda" i niekoniecznie będąca "panną".

Zad. 3. W rozwiązaniu nie należy używać pojęcia trójkąta wpisanego w okrąg, ani twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku.

I sposób. Przedłużamy promień CO do przecięcia z okręgiem w punkcie D. Odcinki AB i CD są średnicami okręgu, mają więc tę samą długość. Czworokąt ABCD ma przekątne równej długości, które połowią jedna drugą, zatem jest prostokątem. Kąt OCB ma miarę 90–56 =  34º. Trójkąt OCB jest równoramienny, ma więc oś symetrii, a zatem jednakowe kąty przy podstawie. Z twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta  α = 180–68 = 112º.

II sposób. Trójkąt AOC jest równoramienny, ma więc oś symetrii, a zatem jednakowe kąty przy podstawie. Kąt COB jest kątem zewnętrznym trójkąta AOC, zatem jego miara α jest sumą miar kątów wewnętrznych doń nieprzyległych, czyli α = 2·56 = 112º.