Zad. 1. Niech n ≥ 2 będzie dodatnią liczbą całkowitą. Przypuśćmy, że a1, a2, ..., an są liczbami rzeczywistymi takimi, że dla wszystkich i ∈ {1, 2, ..., n} zachodzi: ai ≠ -1 oraz
ai+2 = (ai2 + ai) / (ai+1 + 1). Udowodnij, że a1 = a2 = ... = an, zakładając że an+1 = a1 oraz
an+2 = a2.
Zad. 2. Pokaż, że istnieje liczba całkowita n ≥ 1, dla której istnieje co najmniej 2026 trójek
(a, b, c) dodatnich liczb całkowitych takich, że a2 + b3 + c4 = n.
Zad. 3. Wyznacz wszystkie trójki (a, b, c), gdzie a, b i c są dodatnimi liczbami całkowitymi, które spełniają warunki a ≤ b ≤ c oraz abc = 2(a+b+c).
W tym miesiącu punkty zdobył:
- 6 - Jakub Ceynowa (SP 95 Wrocław)
Gratulujemy!
Zad. 1. Z cyklicznego zsumowania równań ai+2+ai+1ai+2=ai2+ai (dla i=1,...,n) i skróceniu sum wyrazów ai+2 oraz ai otrzymujemy: a1a2+...+ana1=a12+...+an2. Mnożąc przez 2 i przenosząc wszystko na jedną stronę, zwijamy wyrażenie do (a1−a2)2+...+(an−a1)2=0, co oznacza, że wszystkie liczby ai są równe.
Zad. 2. Dla dowolnego k całkowitego dodatniego rozważmy trójki dodatnich liczb całkowitych (a,b,c) spełniające: 1≤a≤k6, 1≤b≤k4, 1≤c≤k3. Takich trójek jest (jako że liczby wybieramy niezależnie) k6·k4·k3=k13. Maksymalna możliwa wartość sumy a2+b3+c4 wynosi (k6)2+(k4)3+(k3)4=3k12. Zatem możliwych szufladek z wynikami sumowania jest najwyżej 3k12. Z zasady szufladkowej Dirichleta co najmniej jedna wartość sumy (szukane n) jest osiągana minimum k13/3k12=k/3 razy. Aby wynik ten wynosił co najmniej 2026, załóżmy k/3≥2026 ⇒ k≥6078. Wybierając k=6078 dowodzimy, że istnieje całkowite n≤3·607812, dla którego a2+b3+c4=n ma minimum 2026 rozwiązań.
Zad. 3. Niech (a, b, c) będzie rozwiązaniem. Skoro a≤b≤c, to abc = 2(a+b+c) ≤ 6c ⇒ ab ≤ 6. Zatem a=1 lub a=2 (gdyż dla a≥3 zachodziłoby ab≥a2≥9).
- Dla a=2: z ab≤6 wynika b=2 lub b=3. Gdy b=2, to 4c=8+2c ⇒ c=4 (rozwiązanie: (2,2,4)). Gdy b=3, to 6c=10+2c ⇒ c=5/2 (brak rozwiązań całkowitych).
- Dla a=1: bc=2(1+b+c) ⇒ (b−2)(c−2)=6. Czynniki te muszą być dodatnie (gdyby b=1, to c=−4<0). Dodatnie rozkłady liczby 6 to 1·6 i 2·3, więc: b−2=1 i c−2=6, co daje rozwiązanie (1, 3, 8) lub b−2=2 i c−2=3, co daje (1, 4, 5).
Podsumowując, jedynymi rozwiązaniami są (2, 2, 4), (1, 3, 8) oraz (1, 4, 5).
