Zad. 1. Znajdź wszystkie uporządkowane pary (a, b) dodatnich liczb całkowitych, dla których liczby (a3b–1) / (a+1) oraz (b3a+1) / (b–1) są obie dodatnimi liczbami całkowitymi.
Zad. 2. Niech ABC będzie trójkątem ostrokątnym, w którym |AB| < |AC|, a O jest środkiem opisanego na nim okręgu ω. Niech D będzie punktem na odcinku BC takim, że |∡BAD| = |∡CAO|. Niech E będzie drugim punktem przecięcia okręgu ω z prostą AD. Jeśli M, N i P są odpowiednio środkami odcinków BE, OD i AC, udowodnij, że punkty M, N i P są współliniowe.
Zad. 3. Wyznacz liczbę par liczb całkowitych (m, n) takich, że √(n+√2026) + √(m–√2026) jest liczbą wymierną.
W tym miesiącu punkty zdobył:
- 18 - Jakub Ceynowa (SP 95 Wrocław)
Gratulujemy!
Zad. 1. Ponieważ a3b−1=b(a3+1)−(b+1), a a+1 dzieli a3+1, to a+1 musi dzielić również b+1. Podobnie z równości b3a+1=a(b3−1)+(a+1) wynika, że b−1 dzieli a+1. Zatem b−1 dzieli b+1, co oznacza, że b−1 dzieli ich różnicę, czyli 2. Dla b=2 otrzymujemy, że a+1 dzieli 3, skąd a=2. Daje to jedyne rozwiązanie w tym przypadku: (2,2). Dla b=3 wyrażenie a+1 dzieli 4, co daje a=1 lub a=3. Otrzymujemy stąd rozwiązania (1,3) oraz (3,3).
Podsumowując, szukanymi parami (a, b) są (1, 3), (2, 2) i (3, 3).
Zad. 2. Udowodnimy, że czworokąt MOPD jest równoległobokiem, z czego wyniknie współliniowość punktów M, N i P. Skoro |∡BAD|=|∡CAO|=90°−|∡ABC|, to D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Ponieważ M to środek odcinka BE, mamy |BM|=|ME|=|MD|, a zatem |∡MDE|=|∡MED|=|∡ACB|. Niech prosta MD przecina AC w punkcie D1. Z racji, że |∡ADD1|=|∡MDE|=|∡ACD|, odcinek MD jest prostopadły do AC. Z drugiej strony OP również jest prostopadłe do AC, bo O to środek okręgu opisanego, a P to środek boku AC. Wobec tego proste MD i OP są równoległe.
Analogicznie, skoro P jest środkiem boku AC, zachodzi |AP|=|PC|=|DP|, co daje |∡PDC|=|∡ACB|. Jeśli PD przecina BE w punkcie D2, to |∡BDD2|=|∡PDC|=|∡ACB|=|∡BED|. Z tego wynika prostopadłość PD do BE. Ponieważ OM także jest prostopadłe do BE, proste OM i PD są równoległe.
Czworokąt MOPD ma dwie pary boków równoległych, więc jest równoległobokiem. W każdym równoległoboku przekątne dzielą się na połowy, zatem środek przekątnej OD (punkt N) siłą rzeczy musi leżeć na prostej wyznaczonej przez przekątną MP. To kończy dowód.
Zad. 3. Niech r = √(n+√2026)+√(m−√2026). Z założenia r∈Q. Podnosząc równanie stronami do kwadratu, otrzymujemy: n+m+2√(n+√2026)√(m−√2026) = r2, co po przekształceniach przyjmuje postać: (m−n)√2026 = 1/4(r2−m−n)2−mn+2026. Prawa strona tego równania jest wymierna. Ponieważ √2026 to liczba niewymierna, lewa strona może być wymierna wyłącznie wtedy, gdy m−n=0. Zatem musi zachodzić m=n. Nasze równanie upraszcza się do: √(n2−2026) = 1/2(r2−2n).
Skoro prawa strona jest wymierna, a n jest liczbą całkowitą, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być pełnym kwadratem. Istnieje zatem nieujemna liczba całkowita p, dla której n2−2026 = p2. Zapisując to jako n2−p2 = 2026, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (n−p)(n+p) = 2026. Różnica tych czynników wynosi (n+p)−(n−p) = 2p, co zawsze jest liczbą parzystą. Oznacza to, że oba czynniki muszą być tej samej parzystości. W konsekwencji ich iloczyn musi być albo nieparzysty (gdy oba są nieparzyste), albo podzielny przez 4 (gdy oba są parzyste).
Rozkładając 2026 na czynniki pierwsze (2026=2·1013), widzimy, że liczba ta jest parzysta, ale nie dzieli się przez 4. Z tego wynika, że badane równanie nie posiada rozwiązań w parach liczb całkowitych.
Nie istnieje zatem żadna taka para, więc szukana liczba par (m, n) wynosi 0.
