Wielobok środków - podobieństwo

Dla danego wieloboku w, środki jego boków wyznaczają nowy wielobok. Nazwiemy go wielobokiem środków wieloboku w i oznaczymy Ś(w). Poniżej zbadamy wieloboki podobne do swoich wieloboków środków, czyli takie, dla których   w ~ Ś(w).
Przed przeczytaniem tego tekstu warto zapoznać się z artykułem Wielobok środków (pola i obwody).

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku (na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa). Zatem trzy takie odcinki tworzą trójkąt o bokach równoległych do boków wyjściowego trójkąta, czyli o takich samych kątach. Stąd wynika twierdzenie:

Tw 1.   Każdy trójkąt jest podobny do swojego wieloboku środków.

 
Wielobok środków kwadratu jest oczywiście kwadratem, więc (tak jak dla trójkątów) kwadraty są podobne do swoich wieloboków środków:
w ~ Ś(w).
 
 
 
Dla prostokąta, który nie jest kwadratem, wielobok środków jest rombem, więc nie jest podobny do wyjściowego prostokąta.
Naturalne jest zatem pytanie:
 
Problem 1. Czy wśród czworoboków jedynie dla kwadratów w~Ś(w) ?
 

Wielobok środków czworoboku jest równoległobokiem (bo ma boki równoległe do przekątnych wyjściowego czworoboku), więc tylko dla równoległoboków może zachodzić: w ~ Ś(w).

Zatem odpowiedzi na powyższe pytanie należy szukać jedynie wśród równoległoboków. Przed przeczytaniem odpowiedzi zrób poniższe zadania.

Zadanie 1.   Uzasadnij, że w każdym z poniższych przykładów równoległobok ABCD nie jest podobny do PQRS, swojego wieloboku środków.
 

Uwaga 0.   Nietrudno (choć żmudnie) można obliczyć długości boków tych równoległoboków (z twierdzenia Pitagorasa, lub 'na palcach'). Ale czy to jest konieczne?

Uwaga 1.   By sprawdzić, że dwa równoległoboki są podobne, nie wystarczy sprawdzić, że stosunki długości ich boków są równe.

Uwaga 2.   By sprawdzić, że dwa równoległoboki są podobne, nie wystarczy sprawdzić, że mają takie same kąty.

Zadanie 2.   Uzasadnij, że w każdym z poniższych przykładów równoległobok ABCD nie jest podobny do PQRS, swojego wieloboku środków.

Czy zatem odpowiedź na Pytanie 1. jest twierdząca? Nie. Są równoległoboki (różne od kwadratów) podobne do swoich wieloboków środków, o tym mówi poniższe twierdzenie.

Tw 2.   Niech równoległobok ABCD ma własność:   AC : AB = ,
(czyli stosunek długości przekątnej do długości (pewnego) boku jest równy ).
Wtedy ABCD jest podobny do swego wieloboku środków.

 
Przyjmijmy dla ułatwienia, że AB = 1.
 
Ponieważ AC : AB =
oraz AB : A0 = 1 : AC/2 = ,
trójkąty ABC i AOB są podobne (cecha bkb).
 
 
Ponieważ trójkąty ABC i AOB są podobne,
AB : BC = AO : OB oraz
kąty ABC i AOB są równe.
 
 
Ponieważ trójkąty AOB i SRQ są przystające (dlaczego?),
trójkąty ABC i SRQ są podobne (dlaczego?).
 
 
Zatem równoległoboki ABCD i SRQP są podobne.

Czy są jakieś inne (niż opisane w powyższym twierdzeniu) równoległoboki podobne do swoich wieloboków środków? Nie. Zachodzi bowiem twierdzenie odwrotne:

Tw 3.   Jeśli równoległobok jest podobny do swojego wieloboku środków, to stosunek długości przekątnej do długości (pewnego) boku jest równy .

 
Dla każdego czworoboku w mamy: pole Ś(w)  =  ¹/₂ ^. pole w (patrz Tw. P₄⁼ z artykułu Wielobok środków (pola i obwody)).
Zatem jeśli w~Ś(w), to skala podobieństwa jest równa 1/ = /2 (dlaczego?).
Zatem jest to stosunek boku w w do boku w Ś(w) (odpowiadającemu mu).
Teza wynika z faktu, że boki w Ś(w) są połówkami przekątnych równoległoboku w.

Z Tw. 2 i Tw. 3 otrzymujemy:

Tw 4.   Równoległobok jest podobny do swojego wieloboku środków wtedy i tylko wtedy, gdy stosunek długości przekątnej do długości (pewnego) boku jest równy .

Tw 4'.   Czworobok jest podobny do swojego wieloboku środków wtedy i tylko wtedy, gdy jest równoległobokiem, w którym stosunek długości przekątnej do długości (pewnego) boku jest równy .

A jak jest dla wieloboku o większej liczbie boków?
Czy poza wielobokami foremnymi są wieloboki podobne do swoich wieloboków środków?
Przed próbą udzielenia odpowiedzi zrób poniższe zadanie.

Zadanie 3.   Niech PQRSTU będzie wielobokiem środków sześcioboku środkowo-symetrycznego ABCDEF o wierzchołkach w punktach układu współrzędnych podanych na rysunku. Znajdź:

a) współrzędne punktów E, F,

b) długości boków ABCDEF,

c) współrzędne punktów P, Q, R, S, T, U,

d) środek symetrii PQRSTU,

e) długości boków PQRSTU,

f) współrzędne punktów A', B', C', D', E', F', będących odbiciami punktów A, B, C, D, E, F w prostej o równaniu y = x.

I co widać???    Porównaj c) i f).

Uwaga 3.   Sześcioboki podobne do swych wieloboków środków są 'bardzo podobne' (w potocznym sensie) do tego z powyższego zadania. W szczególności mają środek symetrii, boki są połówkami dłuższych przekątnych, w pewnym sensie są niemal foremne (afinicznie). Niestety nie umiem opisać tego elementarnie (i uzasadnić). Może ktoś z Czytelników znajdzie rozwiązanie.
Podobnie czeka na rozwiązanie analogiczny problem dla pięcioboków i ogólnie, dla wieloboków o n bokach.