Stożek w klatkach

Rozważać będziemy druciane klatki w kształcie szkieletów graniastosłupów prawidłowych idealnie dopasowane do figury stożka.

Zamykanie stożka w taką klatkę nie jest proste. Najpierw trzeba zdemontować górną podstawę klatki. Wtedy od góry wkładamy stożek. Podstawa klatki jest wpisana w koło podstawy stożka, więc zabezpiecza przed przemieszczaniem się stożka w poziomie. Teraz nakładamy na 'szyję' stożka górną podstawę klatki. Wysokość klatki jest tak dobrana, że górna podstawa obejmuje bez luzu szyję stożka, jak obroża. Stożek, choć częściowo wystaje poza klatkę, jest całkowicie unieruchomiony.

Na rysunku widać 3-klatkę (szkielet graniastosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej) wykonaną dla stożka o promieniu podstawy R = 1 i wysokości H = 2.

Zadanie A. Dla stożka o promieniu podstawy R = 1 i wysokości H = 2,6 wyznacz łączną długość krawędzi:

    3)   3-klatki (szkieletu graniastosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej),

    4)   4-klatki (szkieletu graniastosłupa prawidłowego o podstawie kwadratowej),

    6)   6-klatki (szkieletu graniastosłupa prawidłowego o podstawie sześciokątnej).

W którym przypadku łączna długość krawędzi klatki jest najmniejsza?

Rozwiązanie zadania A.3    

Podstawa (dolna) graniastosłupa jest wpisana w koło o promieniu R, zatem jest trójkątem równobocznym, którego 2/3 wysokości jest równe R, czyli 2/3 ^. /2 a = R, skąd a = R ^. .
Górna podstawa więzi 'szyję', czyli leży na poziomie, na którym stożek ma przekrój będący kołem wpisanym w trójkąt równoboczny o boku a. Zatem przekrój ma promień R/2. Taki przekrój jest w połowie wysokości stożka, więc wysokość klatki jest równa h = H/2.
Łączna długość krawędzi tej 3-klatki jest równa S₃ = 6a + 3h = 6 ^. R + 3 ^. H/2 = 6 ^. R + 3/2 ^. H 14,292... .

Dla ustalonego stożka o promieniu podstawy R i wysokości H jego n-klatki mają różne sumy S_n długości krawędzi. Dla dużych wartości n łączna długość krawędzi podstaw n-klatki jest prawie równa 4R. Dlaczego? Pozostałe (pionowe) krawędzie są krótkie, ale jest ich sporo (n), więc nie jest jasne, czy wartości S_n są bliskie liczby 4R, czy nie. Można to zbadać, rozwiązując poniższe zadania.

Zadanie B. Uzasadnij, że dla stożka o promieniu podstawy R i wysokości H łączna długość S_n krawędzi n-klatki wyraża się wzorem

Zadanie C. Uzasadnij, że granica S_n przy n dążącym do nieskończoności jest równa 4R.

Wskazówka 1. 
Wskazówka 2. 
Wskazówka 3. 

Uwaga 1. Na podstawie ostatniego zadania stwierdzamy, że dla dużych n łączna długość krawędzi n-klatki jest prawie równa dwukrotności obwodu podstawy stożka. Powyższe jednak nie rozstrzyga, czy 'prawie' oznacza 'trochę więcej', czy też 'trochę mniej'.

Dla półkuli o promieniu R można badać jej n-klatki, podobnie jak dla stożka.
Poniżej widać 4-klatkę (szkielet graniastosłupa prawidłowego o podstawie kwadratowej) dla półkuli o promieniu R = 1.

Trochę zaskakujące jest to, że dla półkuli obliczenia są znacznie łatwiejsze. Można obejść się w nich bez trygonometrii.

Zadanie D. Uzasadnij, że dla półkuli o promieniu R łączna długość S_n krawędzi n-klatki jest 2,5 razy większa od obwodu podstawy tej n-klatki.

Zadanie E. Uzasadnij, że dla półkuli o promieniu R i dla dużych wartości n, łączna długość S_n krawędzi n-klatki jest prawie równa 2,5 krotności długości równika tej półkuli.

Uwaga 2. Istnieją bryły tylko trochę różniące się od półkuli, dla których łączne długości krawędzi jej n-klatek dążą do nieskończoności przy n dążącym do nieskończoności.