MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

Stożek w klatkach

Data ostatniej modyfikacji:
2014-07-31
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
Dział matematyki: 
geometria przestrzenna
Rysunki dynamiczne utworzono za pomocą apletu www.javaview.de/.


 

Rozważać będziemy druciane klatki w kształcie szkieletów graniastosłupów prawidłowych idealnie dopasowane do figury stożka.

Zamykanie stożka w taką klatkę nie jest proste. Najpierw trzeba zdemontować górną podstawę klatki. Wtedy od góry wkładamy stożek. Podstawa klatki jest wpisana w koło podstawy stożka, więc zabezpiecza przed przemieszczaniem się stożka w poziomie. Teraz nakładamy na 'szyję' stożka górną podstawę klatki. Wysokość klatki jest tak dobrana, że górna podstawa obejmuje bez luzu szyję stożka, jak obroża. Stożek, choć częściowo wystaje poza klatkę, jest całkowicie unieruchomiony.

 

 

Na rysunku widać 3-klatkę (szkielet graniastosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej) wykonaną dla stożka o promieniu podstawy R = 1 i wysokości H = 2.

 

 

Zadanie A. Dla stożka o promieniu podstawy R = 1 i wysokości H = 2,6 wyznacz łączną długość krawędzi:

    3)   3-klatki (szkieletu graniastosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej),

    4)   4-klatki (szkieletu graniastosłupa prawidłowego o podstawie kwadratowej),

    6)   6-klatki (szkieletu graniastosłupa prawidłowego o podstawie sześciokątnej).

W którym przypadku łączna długość krawędzi klatki jest najmniejsza?

 

Rozwiązanie zadania A.3    

 

Dla ustalonego stożka o promieniu podstawy R i wysokości H jego n-klatki mają różne sumy Sn długości krawędzi. Dla dużych wartości n łączna długość krawędzi podstaw n-klatki jest prawie równa 4R. Dlaczego? Pozostałe (pionowe) krawędzie są krótkie, ale jest ich sporo (n), więc nie jest jasne, czy wartości Sn są bliskie liczby 4R, czy nie. Można to zbadać, rozwiązując poniższe zadania.

 

Zadanie B. Uzasadnij, że dla stożka o promieniu podstawy R i wysokości H łączna długość Sn krawędzi n-klatki wyraża się wzorem

 

Zadanie C. Uzasadnij, że granica Sn przy n dążącym do nieskończoności jest równa 4R.

 

Wskazówka 1. 
Wskazówka 2. 
Wskazówka 3. 

 

Uwaga 1. Na podstawie ostatniego zadania stwierdzamy, że dla dużych n łączna długość krawędzi n-klatki jest prawie równa dwukrotności obwodu podstawy stożka. Powyższe jednak nie rozstrzyga, czy 'prawie' oznacza 'trochę więcej', czy też 'trochę mniej'.

 

 

Dla półkuli o promieniu R można badać jej n-klatki, podobnie jak dla stożka.
Poniżej widać 4-klatkę (szkielet graniastosłupa prawidłowego o podstawie kwadratowej) dla półkuli o promieniu R = 1.

 

 

Trochę zaskakujące jest to, że dla półkuli obliczenia są znacznie łatwiejsze. Można obejść się w nich bez trygonometrii.

 

Zadanie D. Uzasadnij, że dla półkuli o promieniu R łączna długość Sn krawędzi n-klatki jest 2,5 razy większa od obwodu podstawy tej n-klatki.

 

Zadanie E. Uzasadnij, że dla półkuli o promieniu R i dla dużych wartości n, łączna długość Sn krawędzi n-klatki jest prawie równa 2,5 krotności długości równika tej półkuli.

 

 

Uwaga 2. Istnieją bryły tylko trochę różniące się od półkuli, dla których łączne długości krawędzi jej n-klatek dążą do nieskończoności przy n dążącym do nieskończoności.

 

 

Powrót na górę strony