Siodło dla biedronki

Co to jest 'małpie siodło'? Oprócz wzoru  z = x ( x ² - 3y ² )   znalazłem kiedyś w Internecie takie oto wyjaśnienie:
    Małpa to nie człowiek
          i swój... ogon ma,
    nie wystarczą jej do jazdy w siodle,
          tylko strzemiona dwa.
    Potrzebuje jeszcze trzecie,
          na ogon, wszak go ma.
Poniżej pokazujemy, jak wymyśla się takie wzory, i dla małpy, i dla biedronki.

 

Jak wiadomo biedronka ma n = 6 nóg. W zwykłym siodle jest jej bardzo niewygodnie - musi trzymać po trzy nóżki razem. Wymodelujemy jej takie siodło, że każdą nóżkę będzie trzymała oddzielnie.

 

 
Można sobie wyobrażać, że koło o środku w punkcie (0,0,1), prostopadłe do osi OZ jest 'wymiatane' obracającym się promieniem.
 
 

 

 
Można sobie wyobrazić patyk, obracający się podobnie jak promień wokół osi OZ, przy czym w trakcie obrotu patyk zmienia nachylenie - na przemian unosi się i opada (przy czym jeden koniec tkwi stale w punkcie (0,0,1)).
 
 

 

 
Patyk może unosić się i opadać szybciej.
 
Teraz 'wymiata' zwykłe siodło.

 

 
Patyk może unosić się i opadać jeszcze szybciej.
 
Wtedy 'wymiata' siodło dla biedronki.

 

 
Jeszcze nie widzisz?
 
 

 

 
Dla małpy powinien wznosić się i opadać trochę wolniej.
 
Powstaje pewna wersja 'małpiego siodła'.

 

 
Dla czworonogów też znajdzie się sposób.
 
 

 

 
Siodło classic.
 
 

 

 
Siodło dla pająka.
 
 

 

Jak opisać wzorem takie siodła?
Jakie równanie spełniają współrzędne punktu (x,y,z), leżącego na siodle? 
Dla ustalenia uwagi myślmy o siodle dla małpy, n = 3.

 

Kluczowa sprawa

jak nachylenie, kąt , zależy od obrotu, od kąta ? Wygodniej będzie opisać zależność pomiędzy tg  i kątem . Funkcja sinus (lub kosinus) unosi się i opada, więc można ją wykorzystać. Niech tg   =   sin 3 . Gdy patyk robi jeden obrót, to 3 przebiega zakres od 0 do 3 ^. 360^o i sin 3 wznosi się i opada 3 razy.
Zatem i nachylenie, i tg, zmieniają się 3 razy.

By wyznaczyć z, wystarczy znaleźć długość zielonego pionowego odcinka.
Trzeba zobaczyć na rysunku trójkąty prostokątne. Mamy

Uwzględniając, że   tg   =   sin 3, otrzymujemy
 
 

 
Nie jest to jeszcze ostateczny wzór, bowiem oprócz współrzędnych x,y,z występuje w nim kąt . Nie widać też takiej prostoty jak we wzorze  z = x ( x ² - 3y ² ) .

Uwaga (tylko dla dorosłych)
W układzie cylindrycznym mamy już bardzo zgrabną postać n-siodeł:

z   =   r ^. sin n .

 
Można 'pozbyć' się kąta , korzystając z zależności  tg = y/x. Otrzymujemy wtedy

Jednak trudno taki wzór uznać za elegancki.

 
Innym sposobem jest skorzystanie ze wzorów trygonometrycznych.
Z tablic matematycznych odczytujemy:
     sin 3 = 3 sin cos² - sin³ = sin (3 cos² - sin²) ,
a z rysunku

Wstawiając te zależności (i wykonując przekształcenia), otrzymujemy wzór

Uwaga (tylko dla dorosłych)
Dla biedronki rachunki nie są trudniejsze. Trzeba skorzystać ze wzoru:
     sin 6  =  2 sin cos ( 3 sin⁴ - 10 sin² cos² + 3 cos⁴ ),
by na koniec otrzymać analogiczny wzór siodła:

Uzyskane siodła są trochę niewygodne. Wygodniejsze można zrobić, wyginając patyki w parabole, lub jeszcze bardziej.
O! Ostatni wzór małpiego siodła jest prawie taki, jak te w Internecie.
 
Biedronkom też można zrobić wygodniej, to znaczy bardziej wygładzić centralny punkt siodła.

Pytania kontrolne
- Jaki jest 'elegancki' wzór siodła modelu 'classic'?
- Jakie siodło dostaniemy, wstawiając do wzoru n = 1 ?

 

Uwaga. Uzyskane wzory są tylko jednym z możliwych sposobów opisu takich kształtów.

 

 
 

Powyżej pokazaliśmy, jak szukać w miarę prostego i eleganckiego opisu figur (powierzchni) o ciekawych kształtach.

Powyższe rozważania nie wyjaśniły natomiast dlaczego matematycy zajmują się siodłami, w dodatku dla całego ogrodu zoologicznego. Czyżby nie mieli nic lepszego do roboty?
Ogólnikowa odpowiedź może być następująca:
Siodła są ciekawe, bo są najprostszymi modelami 'dziwnych' zachowań powierzchni. Przyroda daje o wiele bardziej skomplikowane przykłady (wystarczy popatrzeć na pofałdowane góry lub na falujące morze). By móc je opisać, trzeba zrozumieć najpierw najprostsze sytuacje - na przykład takie, jak powyższe siodła.