Omyłkowe przekształcenia - eminwersja

Na lekcji pani podała, jak znaleźć punkt P' będący obrazem punktu P w inwersji względem okręgu m o środku O:

- półprosta OP w przecięciu z m wyznacza punkt P_m
- na półprostej OP znajdujemy taki punkt P', że

Karol, jak to Karol, niby słuchał uważnie, jednak omyłkowo przyjął, że

Sprawdź, że wszystko się zgadza!

Nazwijmy to przekształcenie eminwersją.
Jakie ma własności?

Dla punktu O będącego środkiem wielokąta m, powyższy przepis szwankuje. Nie można jednoznacznie określić O_m. Co z tym fantem zrobić? To samo co w przypadku funkcji y = 1/x. Tu przepis szwankuje dla x = 0, więc przyjmujemy, że liczba 0 nie jest w dziedzinie funkcji. Podobnie przyjmujemy, że punkt O nie jest w dziedzinie eminwersji.

Zauważmy, że P'' = P, to znaczy, że przekształcając przez eminwersję punkt P' (obraz punktu P) wracamy do punktu P (najedź punktem Q na P' i sprawdź, gdzie jest Q').
Taką własność mają też inne, znane przekształcenia: odbicie względem prostej, obrót o 180^o, czy wspomniana już funkcja y = 1/x.

Z powyższej własności wynika w szczególności różnowartościowość eminwersji, tzn. że dwa różne punkty nigdy nie są przekształcane na ten sam punkt.

Zauważ, że punkty m są stałe względem eminwersji i tylko one, bo P' = P wtedy i tylko wtedy, gdy P jest punktem z m.

Punkty półprostej wychodzącej z O (poza punktem O) są przekształcane na punkty tej samej półprostej.

Zobacz jak dziwaczne kształty mają w eminwersji obrazy odcinków i okręgów.

Eksperymentując, można odkryć, dla jakich odcinków dostajemy 'porządne' obrazy.

Twierdzenie 1.   Niech DE będzie odcinkiem, do którego nie należy O. Wtedy

obrazem odcinka DE jest odcinek wtedy i tylko wtedy, gdy
punkty D, E, O są współliniowe (tzn. leżą na jednej prostej)
lub
DE jest równoległy do M _j M _{j + 1} i DE cały leży w obszarze kąta M _j OM _{j + 1} ,
gdzie M _j M _{j + 1} oznacza pewien bok m .

Niech teraz m będzie brzegiem kwadratu o środku O.

Obrazem pełnego kwadratu w eminwersji nigdy nie jest kwadrat, ale obrazem brzegu kwadratu może być brzeg pewnego kwadratu.

Twierdzenie 2.   Niech m będzie brzegiem kwadratu o środku O
i niech HIJK będzie brzegiem kwadratu, do brzegu którego nie należy O. Wtedy

obrazem HIJK jest brzeg pewnego kwadratu wtedy i tylko wtedy, gdy
m i kwadrat o brzegu HIJK są jednokładne względem punktu O.

Obrazy pewnych pełnych czworokątów w eminwersji mogą być pełnymi czworokątami. Jakie to czworokąty? Takie są trapezy o podstawach równoległych do pewnego boku m i . . . . . (może wreszcie sam coś uzupełnisz?).

A co się dzieje, gdy m będzie brzegiem trójkąta równobocznego o środku O?

Zbadamy teraz własności eminwersji metodami geometrii analitycznej.

Rozważmy przekształcenie będące 'fragmentem' eminwersji:
Niech O=(0,0) i niech m oznacza prostą x = 1.
Obrazem punktu P = (x, y), gdzie x>0, jest taki punkt P' = (x', y'), że

Aby wyznaczyć x' i y' w zależności od x i y, wystarczy skorzystać z podobieństwa odpowiednich trójkątów i (przekształconej) własności:

Dzięki tym wzorom można znaleźć równanie, jakie spełnia punkt P', gdy punkt P leży na prostej

Obraz okręgu w eminwersji nie jest już taki 'porządny'. Gdy punkt P leży na okręgu

O dalszych przygodach Karola Omyłka z przekształceniami możesz przeczytać w artykule o parsymetrii.