Odcinek koła (1)

Na rysunku widać odcinek koła, to znaczy jeden z dwóch obszarów ograniczonych okręgiem i cięciwą tego okręgu. Będziemy rozważać tylko mniejszy z tych dwóch obszarów, czyli taki, że środek koła nie leży w jego wnętrzu. Ponadto zakładamy, że znane są długości: a - łuku i b - cięciwy.

Pomysł 1
Znajdziemy wzór na pole P₁ trapezu równoramiennego o dłuższej podstawie b i pozostałych bokach długości a/3. Taki trapez nieźle przybliża odcinek koła, zatem P₁ będzie PRZYBLIŻONYM wzorem na pole odcinka koła.

Z tw. Pitagorasa wyznaczamy wysokość takiego trapezu:
Stąd pole jest równe

Mamy zatem PRZYBLIŻONY wzór na pole odcinka koła:

Jak dobre jest to przybliżenie? Sprawdźmy.

Zadanie 1.  Wypełnij opis poniższych odcinków kół (P₁ oznacza przybliżone pole, a P - dokładne).

	a = . . . . . 3,1415926 b = . . . . . . . . . . P = /2 . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    (P1 - P) / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    (P1 - P) / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    (P1 - P) / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P1 . . . . .	błąd względny (w %):    (P1 - P) / P . . . . .

Uwaga 1.  Można uzasadnić, że   0,9 ^. P < P₁ < P,   czyli że obliczając pole ze wzoru P₁, uzyskamy błąd względny mniejszy niż 10-procentowy.

Zadanie 2*.  Uzasadnij, że wśród trapezów równoramiennych o obwodzie a+b i jednej podstawie długości b (b < a), największe pole ma trapez o ramionach długości a/3.

Zadanie 3*.  Uzasadnij, że wśród czworokątów o obwodzie a+b i jednym boku długości b (b < a), największe pole ma trapez o podstawach długości b i a/3 oraz ramionach długości a/3.

Pomysł 2
Niech c będzie liczbą mniejszą od a o (a-b)/9,czyli niech   c = 8/9 ^. a + 1/9 ^. b.
Odcinek koła przybliżymy dziesięciokątem zbudowanym w opisany niżej sposób.
Najpierw budujemy trapez równoramienny o podstawie długości b i pozostałych bokach długości c/3.
Na tych trzech bokach budujemy trapezy równoramienne o podstawach długości c/3 i pozostałych bokach długości a/9.

Pole P₂ tak zbudowanego dziesięciokąta łatwo obliczymy, stosując dwa razy poprzedni wzór:

Dalej już tylko wstawiamy wartość c i nieco mozolnie przekształcamy.

Mamy zatem drugi PRZYBLIŻONY wzór na pole odcinka koła:

Jak dobre jest to przybliżenie? Sprawdźmy.

Zadanie 4.   Wypełnij opis poniższych odcinków kół (P₂ oznacza przybliżone pole, a P - dokładne).

	a = . . . . . 3,1415926 b = . . . . . . . . . . P = /2 . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    (P2 - P) / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    (P2 - P) / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    (P2 - P) / P . . . . .
	a = . . . . . . . . . . b = . . . . . . . . . . P = . . . . . . . . . . P2 . . . . .	błąd względny (w %):    (P2 - P) / P . . . . .

Uwaga 2.  Można uzasadnić, że   0,98979 ^. P < P₂ < P,   czyli że obliczając pole ze wzoru P₂,uzyskamy błąd względny mniejszy niż 1.1-procentowy.

Uwaga 3.  Powyższe rysunki sugerują, że rozważane dziesięciokąty są wpisane w odcinki kół, że ich wierzchołki leżą na łukach tych odcinków. Nie jest to prawda. To tylko efekt dobrego przybliżenia i niedokładności rysunków. Można uzasadnić, że niektóre z wierzchołków muszą leżeć poza odcinkami kół (w przeciwnym wypadku obwody dziesięciokątów byłyby mniejsze od obwodów odcinków kół).

Pomysł 3 
Można uzasadnić, że   0,98979 ^. P < P₂ < 0,99365 ^. P . 
Zauważmy, że   1,0083 ^. 0,98979 = 0,998005257 ,   1,0083 ^. 0,99365 = 1.001897295.
Niech Jest to trzeci PRZYBLIŻONY wzór na pole odcinka koła.
Mamy:   0,998 ^. P < P₃ <1,002 ^. P,  czyli że obliczając pole ze wzoru P₃, uzyskamy błąd względny mniejszy niż 2 promile.

Powyższe rozważania mogą nasuwać następne pytania:
  - Czy można uzyskać jeszcze lepsze przybliżenia?
  - Jak badać błędy względne (nie tylko dla niektórych odcinków kół)?
  - Dlaczego jest tu mowa o przybliżeniach, czy nie prościej podać DOKŁADNY wzór?

Odpowiedzi wymagają znajomości trygonometrii. Warto przeczytać tekst Odcinek koła (2).

Powyższy tekst powstał po przeczytaniu artykułu Marka Kordosa 'Rozprawka o metodzie', Delta 7 (2015). Gorąco polecamy jego lekturę.