Liczbowe zabobony

Spróbuj wyobrazić sobie jeden dzień swojego życia, kiedy nie mógłbyś używać liczb. Z pewnością byłoby to bardzo kłopotliwe. Liczby są człowiekowi niezbędne. Można nimi skutecznie opisać otaczający nas świat. Dlatego stanowiły jeden z najwcześniejszych wynalazków ludzkości. Jednak oprócz swej niezwykłej użyteczności (a może właśnie dzięki niej) kryły w sobie wielką tajemnicę. Dlatego od zarania dziejów przypisywano im właściwości magiczne.

Postrzeganie szczęśliwości czy pechowości danej liczby jest bardzo subiektywne, jako że samo pojęcie szczęścia nie ma naturalnej i obiektywnej definicji. Już Pitagoras z upodobaniem kolekcjonował przesądy liczbowe, jednak zdawał sobie sprawę, że ta sama liczba może mieć jednocześnie pozytywne i negatywne konotacje. Mistyczne własności liczb zależały od kręgu kulturowego, w jakim powstały. Na przykład w wielu religiach liczba 1 jako symbol początku, zaczynania czegoś i tworzenia jest symbolem boga, który stworzył świat z niczego, a właściwie ze swojej jednej myśli. Z kolei w tradycji chrześcijańskiej symbolem boskiej trójcy jest liczba 3, a Indianie południowoamerykańscy za liczbę boską uważali 13 – w ich mitologii jest trzynaście niebios i trzynastu bogów. W wielu krajach europejskich rozpowszechniona jest wiara w pechową trzynastkę.

Przesąd o feralności liczby trzynaście, zwłaszcza gdy taka datawypadnie w piątek przywędrował do nas podobno ze średniowiecznej Francji i jest związany z upadkiem zakonu templariuszy. Król Francji - Filip IV Piękny, znany z wielkiej pazerności na dobra doczesne (prześladował m. in. żydowskich bankierów z Lombardii, licząc na przejęcie ich majątków), chcąc przejąć legendarne bogactwa templariuszy, gładko wymógł na ówczesnym papieżu Klemensie V (który właśnie królowi zawdzięczał wybór na Stolicę Piotrową, choć sam osiadł w Awinionie) zgodę na rozwiązanie zakonu. W piątek 13 października 1307 roku w wyniku wielkiej, tajnej operacji aresztowano wszystkich francuskich templariuszy. 

Kiedy podczas Zimowych Igrzysk Olimpijskich w Nagano w 1998 r. supergwiazda zjazdu alpejskiego – Austriak Hermann Maier tak fatalnie wybił się na muldzie, że poszybował z prędkością 100 km/h, koziołkując, przebijając dwie siatki ochronne i wreszcie rzeźbiąc głową 20-metrową bruzdę w śniegu, komentatorzy winą za ten niefortunny zjazd obciążyli... liczby, które sprzysięgły się przeciw Maierowi. Zdarzenie miało bowiem miejsce w piątek 13., dla Austriaka był to start w 13. zawodach w ciągu roku, a na dodatek startował z numerem 4, który co prawda „trzynastką” nie zapisuje się w żadnym systemie pozycyjnym, ale za to wymawia się po japoński shi, co znaczy również śmierć (w tarocie to 13. karta wielkich arkanów), i jest w dodatku sumą cyfr feralnej liczby.

Europejskich uprzedzeń do liczby 13 nie podzielają Włosi. Od starożytnych czasów rzymskich za tajemniczą, pechową i złowróżbną uznają oni liczbę 17. Wydaje się zresztą, że tradycja ta sięga nawet jeszcze wcześniej. Już Plutarch pisał: Egipcjanie powiadają, że śmierć Ozyrysa zdarzyła się w siedemnastym dniu miesiąca, kiedy księżyc w pełni najwyraźniej zaczął ubywać. Przeto pitagorejczycy nazywają ten dzień „barierą” i żywią wstręt do tej liczby. Innym wytłumaczeniem tej szczególnej niechęci może być zdarzenie z czasów panowania cesarza Augusta. W czasie wojny z plemionami germańskimi w 9 r. n.e. trzy pułki, 17., 18. i 19., zostały podstępnie zwabione na moczary przez wojska Warusa Arminiusza i doszczętnie wybite. Utraciły też swoje pułkowe orły. Kilka lat później Germanik odzyskał orły pułków 18. i 19., ale 17. nie udało mu się odnaleźć. Nigdy nie sformowano nowego pułku o tym numerze. Wiele lat później (w 1799 roku) Napoleon Bonaparte odłożył o jeden dzień zamach stanu planowany początkowo na piątek 17 brumaire’a (wg kalendarza rewolucji francuskiej, w kalendarzu gregoriańskim to 8 listopada), twierdząc, że tylko głupcy wyzywają nieznane.

Takiej zupełnie irracjonalnej numerofobii poddają się nie tylko jednostki, ale i całe społeczeństwa, uwzględniają ją w działaniach marketingowych poważne międzynarodowe koncerny. W większości włoskich hoteli nie ma pokoju o numerze 17, nie ma też 17. piętra (a jeśli jest, to znajdują się tam wszystkie biura, przynajmniej dyrekcja hotelu może pokazać gościom, że nie jest przesądna), w samolotach Alitalia żaden fotel nie ma numeru 17, a model samochodu Renault 17 był sprzedawany Włochom jako model 177. Ciekawe, że w języku szwedzkim słowo oznaczające 17 – sjutton – jest przekleństwem. Podobnie zresztą w wielu europejskich hotelach nie ma 13. piętra, a w Warszawie przed wojną nie było tramwaju o tym numerze.

Innym przykładem liczby kojarzonej ze złem jest 6. W symbolice satanistycznej przypisana jest ona mocom diabelskim jako odwrócenie boskiej dziewiątki (kwadratu boskiej trójki). Jednak w starożytnej numerologii była to liczba harmonii, równowagi i stabilnego szczęścia, patronowała przyrodzie i jej cyklom życia: przemianom nocy i dnia, nowiu i pełni, zimy i lata. Natomiast brytyjscy gracze w krykieta uznają za pechowy wynik 111 i jego wielokrotności podobno dlatego, że zapis ten przypomina słupki krykietowe bez leżącej na nich poprzeczki – strącenie tej poprzeczki decyduje o przegranej obrońcy.

Nie wszystkie liczby sprowadzają na nas nieszczęścia. Niektóre mają wyraźnie pozytywne konotacje. Starożytni Grecy za liczbę magiczną uważali 7. Tyle planet obserwowanych było na ówczesnym nieboskłonie (Ziemia, Księżyc, Wenus, Merkury, Mars, Jowisz i Saturn), tyle samo gwiazd liczył gwiazdozbiór Wielkiej Niedźwiedzicy, która prowadziła wzrok podróżników i astronomów ku gwieździe polarnej. W Biblii 7 dni trwało stworzenie świata i na pamiątkę tego w kalendarzu żydowskim (i w niemal wszystkich późniejszych) przyjęto podział na siedmiodniowe tygodnie. Spodziewano się, że liczba ta powinna być odpowiedzią na wiele innych ważnych pytań. Z tego powodu, gdy w 1781 roku brytyjski astronom sir Wiliam Herschel odkrył Urana, wielki filozof niemiecki Georg Hegel podważył jego wynik i postulował, by astronomowie zaprzestali poszukiwania dalszych planet, jako że w obecnym stanie harmonia sfer niebieskich jest całkowita. Na szczęście z wywodami Hegla nie zdążył zapoznać się Giuseppe Piazzi, który w 1800 roku odkrył Ceres - pierwszą z około 200 znanych dziś mniejszych planet. W tym samym roku nastąpiło także odkrycie Neptuna.

W starożytnej Grecji, w okresie rozkwitu szkoły pitagorejskiej odkryto tzw. wielką czwórkę liczb – 1, 2, 3, 4. Były one ważniejsze od innych liczb. Na poparcie tej tezy wiele dowodów dostarczały różne dziedziny wiedzy:

• przyroda – są 4 strony świata i 4 żywioły,
• muzyka – struna skrócona w stosunku 1:2, 2:3 czy 3:4 daje przyjemne współbrzmienie (odpowiadające im interwały to oktawa, kwinta i kwarta); skrócenie w stosunku 4:5 brzmi już kiepsko;
• matematyka – wielka czwórka charakteryzuje podstawowe obiekty geometryczne; 1 – to punkt, przez każde 2 punkty przechodzi prosta, przez każde 3 – płaszczyzna, a przez 4 – przestrzeń; poza tym nie ma już nic,
• astronomia – suma „wielkiej czwórki”: 1+2+3+4 = 10 przedstawia harmonię wszechświata, będąc liczbą obiektów na nieboskłonie: oprócz siedmiu wymienionych już planet było to jeszcze Słońce, sfera gwiazd stałych i... no, właśnie: i nic więcej, jednak przekonanie starożytnych astronomów o tym, że u podstaw wszystkich rzeczy leży liczba, nakazywało im wierzyć w istnienie brakującego, dziesiątego obiektu; nazwali go Antichtonem, a fakt, że nie można go zaobserwować, tłumaczyli tym, że znajduje się on 'po drugiej stronie Ziemi'.

Używanie liczb i elementarna arytmetyka wydają się być wrodzoną cechą umysłu ludzkiego, czego wyraz dał XIX-wieczny niemiecki matematyk i logik Leopold Kronecker w słynnym stwierdzeniu: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, reszta jest dziełem człowieka. Jednocześnie od zarania dziejów matematyka stanowiła podstawę wiedzy człowieka (najbardziej radykalnie stanowisko to wyrażał napis u wejścia do Akademii Platońskiej: Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii). Nic więc dziwnego, że nie mając wpływu na obserwowane zjawiska i perypetie losu, jakie ich spotykały, ludzie starali się szukać wytłumaczenia właśnie w świecie matematyki, w świecie liczb. Z podanych wcześniej przykładów jasno widać, że popychały ich do tego na równi z praktyką życia codziennego względy natury historycznej, przyrodniczej, estetycznej i matematycznej.

Z praktyki życia codziennego

Koncepcja liczb szczęśliwych mogła się narodzić na przykład tak: prehistoryczny myśliwy chciał ugotować udo mamuta w prehistorycznym kotle. Włożył mięso do naczynia i postawił go na dwóch grubych balach ułożonych po obu stronach ognia. Kocioł chybotał się i co rusz zsuwał z takiej „dwunożnej” konstrukcji. Zdesperowany, ale i zaradny myśliwy podparł więc kocioł palem z trzeciego kierunku. Teraz wcale się nie kiwał (wiadomo – trzy punkty wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę, z tego samego powodu trójnogi stolik nigdy się nie chwieje). Recepta była prosta: 3 nogi – dobrze, 2 nogi – źle. Kiedy na skutek rozwoju społecznego potomkowie owego starożytnego myśliwego wyabstrahowali w swoim modelu wiedzy pojęcie liczby, okazało się, co od pokoleń głosiła lokalna tradycja, że 3 jest szczęśliwszą liczbą niż 2.

Być może właśnie z takiego powodu starożytni Rzymianie unikali liczb parzystych jako niepomyślnych - np. w pierwszym kalendarzu rzymskim wszystkie miesiące miały po 29 lub 31 dni, z wyjątkiem lutego, który miał dni 28 i był feralnym miesiącem oczyszczenia od zmazy.

Ze względów historyczno-kulturowych

Stosunek społeczeństwa do poszczególnych liczb kształtuje przede wszystkim dziedzictwo kulturowe i przekazy historyczne. Tak było w przypadku włoskiej siedemnsatki i francuskiej trzynastki, kojarzonych z konkretnymi wydarzeniami historycznymi.

Liczby szczęśliwe na ogół łatwo jest odróżnić od nieszczęśliwych dzięki temu, z czym zwyczajowo są kojarzone, np. siedem cudów świata, za siedmioma górami (... znajduje się bajkowa kraina szczęśliwości), siedem kolorów tęczy (a pod nią garnek pełen złotych monet), siedem lat chudych i siedem tłustych itd. Pewną wskazówką są też przysłowia i powiedzenia związane z liczbami, np. gdzie kucharek sześć…, przegonić na 4 wiatry, pleść trzy po trzy, pasować ni w pięć, ni w dziewięć, mierzyć π razy oko itp.

Korzeni naszego stosunku do liczb możemy też szukać w twórczości literackiej i artystycznej, za przykład może posłużyć choćby mistyczna, Mickiewiczowska liczba 44 (a imię jego czterdzieści i cztery) z III części „Dziadów”. Kopalnią przesądów liczbowych jest... Biblia, w której znaleźć można wiele tajemniczych i dwuznacznych odwołań do różnych liczb. Wielokrotnie przywoływane są magiczne liczby 7, 10, 12 (przyszedł jeden z siedmiu aniołów mających siedem czasz... [Ap 17,1], i widziałem wychodzące z morza zwierzę, które miało siedem głów i dziesięć rogów, a na rogach jego dziesięć diademów [Ap 13,10], na głowie jej korona z dwunastu gwiazd [Ap 12,1], i przywołał dwunastu uczniów swoich [Mt 10,1] (trzynastym zaś był Judasz - zdrajca). Najbardziej jednak rozpowszechniony przesąd liczbowy mający swoje korzenie w Biblii to przekonanie o feralności liczby 666. Na kartach Pisma św. pojawia się ona wielokrotnie (np. [1 Krl 10,14]; [Ezd 2,13]), najczęściej wiązana jest jednak z wersetem z Apokalipsy św. Jana, w którym przedstawiono ją jako „liczbę bestii”: a liczba jego sześćset sześćdziesiąt sześć [Ap 13,18]. Wszystkich hazardzistów wypada w tym miejscu przestrzec, że jest to również suma wszystkich liczb ruletki: 0+1+2+3+4+...+35+36 = 666.

Ze względów przyrodniczych

Wiele liczb nieoczekiwanie pojawia się w otaczających nas zjawiskach. W ten sposób zewnętrzny świat odkrywa być może przed nami zamysły Stwórcy, wskazując, które liczby uznał on za szczególnie uprzywilejowane. Zacznijmy od słynnych liczb niewymiernych.

Liczba π opisuje zarówno pole jak i długość najdoskonalszej figury – koła. Według kolejnych przybliżeń liczby złotej Φ wyrastają liście roślin, skręcają się spirale słonecznika czy muszli ślimaka (patrz Liczby Fibonacciego), liczbę złotą (a wraz z nią złoty stosunek) odnajdujemy też w wielu szczegółach anatomicznych naszego ciała (np. kolano dzieli nogę, a łokieć – rękę w złotym stosunku). Bardzo możliwe, że liczba ta kryje się również za harmonią kosmosu (np. okresy obiegów planet Układu Słonecznego wokół Słońca układają się zgodnie z zasadą złotego podziału). Natomiast liczba e – optymalna podstawa logarytmów – pojawia się w bankowości, przy naliczaniu procentu składanego (widać, że Stwórca pomyślał o wszystkim). W XX wieku odkryto też stałą Feigenbauma (δ≈4,669), oddającą granicę między przewidywalnością a chaosem. Opisuje ona zachowanie wielu procesów fizycznych (i ich matematycznych modeli) przy zmianach parametrów.

A oto inne wyjątkowo uprzywilejowane przez naturę liczby:

• 108, bo średnica Słońca ≈ 108 · średnica Ziemi, odległość Ziemia-Słońce ≈ 108 · średnica Słońca, odległość Ziemia-Księżyc ≈ 108 · średnica Księżyca,
• 23, bo to cykl słoneczny – co tyle lat wzrasta aktywność plam na Słońcu,
• 28, bo to cykl księżycowy – tyle dni upływa pomiędzy kolejnymi pełniami Księżyca, taka jest też średnia długość cyklu menstruacyjnego u kobiet. 

Ze względów estetycznych

Doskonałość i tajemnicze zamysły Stwórcy od wieków próbowali imitować artyści. Liczby święte symbolizowały boski i wewnętrzny ład dzieła, nobilitowały twórcę, oddawały mistykę jego artystycznej wizji. Z czasem znalazły naturalne przełożenie na zasady estetyki.

Od czasów starożytnej Grecji liczba złota stała się wszechobecnym kanonem piękna. Odnajdujemy ją w dziełach sztuki i architektury od czasów Fidiasza po projekty Le Corbusiera. Jest to proporcja najbardziej miła ludzkiemu oku, stosowana w wymiarach okien, pocztówek, a nawet kart kredytowych. Z kolei liczbę π odnajdujemy w wymiarach piramid egipskich.

Całe serie świętych liczb obecne są w architekturze średniowiecznych obiektów sakralnych (dla przykładu przytoczmy pobieżny opis szkicu osady klasztornej wykonanego w Akwizgranie w 816 r.: Na planie mamy trzy główne obszary, na każdym z nich są trzy budynki, trzy krużganki, trzy pomieszczenia do gotowania, trzy łaźnie, trzy instalacje medyczne, trzy ogrody, trzy wybiegi dla drobiu i trzy młyny. Są cztery struktury okrągłe, cztery ołtarze w transepcie i po cztery w każdej nawie. Centrum osady tworzy siedem budynków, siedem jest stopni podnoszących prezbiterium, siedem stołów w scriptorium, siedemdziesiąt siedem łóżek w dormitorium...). Ciekawe, z jakim skutkiem podobnych „świętych zamysłów” można by szukać w dzisiejszym budownictwie.

Ze względów matematycznych

Wyjątkowość (lub – jak kto woli – szczęśliwość czy pechowość) liczby może też wynikać z jej wewnętrznych, matematycznych własności. Oto kilka przykładów:

• liczba złota ma najbardziej harmonijne rozwinięcie w ułamek łańcuchowy, składające się z samych jedynek, jej odwrotność jest mniejsza o 1 od niej samej, jest graniczną wartością ilorazu kolejnych liczb Fibonacciego, opisuje złoty stosunek w geometrii;
• 4 jako jedyna jest jednocześnie sumą i iloczynem tych samych liczb naturalnych,
• 6 jest najmniejszą liczbą doskonałą, czyli sumą wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej,
• 13 jest liczbą pierwszą i liczbą Fibonacciego,
• 17 leży między liczbą kwadratową 16 (=4x4) a prostokątną 18(=3x6), przy czym obie te figury jako jedyne w klasie prostokątów o całkowitych długościach boków mają pola równe liczbowo obwodom.

Z punktu widzenia matematyki każda liczba, nawet jeśli z pozoru nie wydaje się szczególna, posiada jakąś unikatową własność. Wybierzmy na chybił trafił pewną liczbę, np. otwierając losowo encyklopedię i odczytując numer strony. Wypadło 510 – proszę bardzo – iloczyn 7. początkowych liczb pierwszych to 510510. Proponujemy Wam powtórzenie podobnej zabawy i podzielenie się z nami uzyskanymi wynikami.

O hinduskim genialnym matematyku-samouku, Srinivasie Ramanujanie, jednym z największych specjalistów z teorii liczb krąży anegdota, która także potwierdza naszą hipotezę. Kiedy leżał on w szpitalu chory na zapalenie płuc, odwiedził go jeden z przyjaciół i wywiązała się taka rozmowa:
- Czym przyjechałeś?
- Taksówką.
- A jaki był jej numer boczny?
- Żaden szczególny – 1729.
- Jak to: „żaden szczególny”?!! To przecież najmniejsza liczba naturalna, którą można przedstawić w postaci sumy dwóch sześcianów na dwa różne sposoby!

Czy potrafisz podać te przedstawienia?
Od tej anegdoty wzięły swoją nazwę w matematyce liczby taksówkowe.

Wobec tylu przykładów spróbujmy udowodnić postawioną hipotezę.
Skorzystamy w dowodzie z tzw. zasady minimum (równoważnej zasadzie indukcji matematycznej), która jest przyjmowana jako jeden z aksjomatów definiujących liczby naturalne. Orzeka, że każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy.

Twierdzenie: Wszystkie liczby naturalne są interesujące.

Dowód (oparty na zasadzie minimum):
Załóżmy nie wprost, że istnieją liczby naturalne nieposiadające żadnej ciekawej własności. Tworzą one zbiór liczb nieinteresujących będący podzbiorem liczb naturalnych. W tym zbiorze istnieje na mocy zasady minimum element najmniejszy n. Jednak liczba n ma bardzo ciekawą własność: jest najmniejszą nieinteresująca liczbą naturalną. Posiadanie tej interesującej własności wyklucza n ze zbioru liczb nieinteresujących, co doprowadza nasze rozumowanie do sprzeczności. Zatem założenie o istnieniu liczb nieinteresujących było fałszywe, a tym samym teza została dowiedziona.

Oczywiście nie jest to żaden formalny dowód, raczej przykład matematycznego kuglarstwa. Gdzie tkwi nieścisłość?

Od tysięcy lat uczeni zgłębiali znaczenie liczb, szukając w nich odpowiedzi na pytania dotyczące sensu istnienia świata. Jednym z pierwszych takich ruchów filozoficznych był pitagoreizm (powstały w VI w. p.n.e.), będący swoistą mieszaniną mistycyzmu i nauk ścisłych. Wśród jego dokonań znajdujemy obok „rewelacji” o wielkiej czwórce liczb m.in. także błyskotliwe dowody twierdzeń Pitagorasa i Talesa. Podstawą pitagorejskiej doktryny było hasło Wszystko jest liczbą. Pod pojęciem liczby rozumiano wówczas dodatnie liczby wymierne (używając współczesnej terminologii), stąd najdonioślejsze odkrycie szkoły pitagorejskiej – fakt, że długość przekątnej kwadratu jednostkowego nie wyraża się żadną liczbą (czyli, mówiąc dzisiejszym językiem, że liczba √2 jest niewymierna) – choć długo utrzymywane w tajemnicy, zadało kłam podstawom pitagorejskiej filozofii i doprowadziło do poważnego kryzysu ideologicznego, a w konsekwencji do rozpadu związku pitagorejczyków. Jego członkowie musieli zrewidować swój stosunek do liczb. Z tej patowej sytuacji znaleźli dwa odmienne wyjścia, które dały początek dwóm konkurencyjnym nurtom.

Pierwsze stronnictwo, tzw. akuzmatycy (co znaczy słuchacze), stwierdzili, że liczby stanowią tajemnicę niemożliwą do zgłębienia przez człowieka, a jedyne, co pozostaje do zrobienia w tej sprawie, to nasłuchiwanie głosu bogów. Liczba stała się dla nich fetyszem, potęgą, która może niszczyć lub tworzyć, zapewniać sukces lub sprowadzać klęskę. Był to więc kierunek zdecydowanie mistyczny, który przetrwał kilka stuleci i dał początek dzisiejszym „naukom” ezoterycznym, np. numerologii (zajmującej się symboliką liczb), gematrii (interpretującej związki między słowami i liczbami), okultyzmowi (badającemu tajemne siły nadprzyrodzone) i parapsychologii.

Drugi odłam pitagorejczyków nazwał się matematykami (co znaczy uczeni). Początkowo odwrócili się oni od liczb, uznając, że nie są one adekwatnym narzędziem opisu rzeczywistości. Swoje wysiłki skierowali na badanie świata figur, co dało początek niezwykłemu rozwojowi geometrii (nazwa ta na kilka stuleci stała się synonimem tego, co dziś nazywamy matematyką). Symbolem tego odłamu stał się pentagram (czyli wklęsły pięciokąt gwiaździsty). Matematycy odcinali się od wszelkich niejasnych pojęć i metod, wprowadzając wiele restrykcji (nie tylko nie używano liczb, ale i zbiorów nieskończonych, a problemy geometryczne rozwiązywano, ograniczając narzędzia do cyrkla i linijki). Szybko okazało się jednak, że takie podejście bardzo ogranicza możliwości badaczy, dlatego powrócono do zarzuconej koncepcji liczb jako narzędzia opisu świata. Tym razem (a było to w IV w. p. n. e.) udało się tak zdefiniować pojęcie liczby, że przezwyciężono sprzeczność, która stała się powodem rozpadu szkoły pitagorejskiej. Dokonali tego na dwa różne sposoby uczniowie Platona – Eudoksos i Teajtetos – konstruując dzisiejszy zbiór dodatnich liczb rzeczywistych. Matematycy badali wyłącznie wewnętrzne (dziś powiedzielibyśmy – matematyczne) własności liczb, odcinając się od ich znaczeń symbolicznych i filozoficznych zastosowań. Powstała dzięki temu odrębna dziedzina matematyki nazywana teorią liczb przez długi czas wydawała się całkowicie bezużyteczna, pozbawiona wszelkich praktycznych zastosowań. Dopiero w czasach współczesnych, w erze komputerów i kodowania informacji okazało się, jak bardzo jej osiągnięcia mogą być przydatne w technice i życiu codziennym.

Podział na mistyków i badaczy liczb przetrwał do dziś. Oba stronnictwa mają się dobrze i stale rośnie zapotrzebowanie społeczne na „produkty” ich pracy. Niejeden właściciel sklepu chętnie skorzysta z systemu nowoczesnych cyfrowych zabezpieczeń, ale po wyznaczenie daty otwarcia sklepu uda się do numerologa, niejeden biznesmen, podejmując ważne decyzje giełdowe, analizuje dane statystyczne, ale jednocześnie nie zapomina sprawdzić swojego biorytmu, niejeden właściciel firmy optymalizuje wysokość nakładów na reklamę przed wprowadzeniem nowego produktu na rynek, a jednocześnie po pomoc przy tworzeniu nazwy tego produktu udaje się do specjalisty od gematrii.

W czasach gdy potrafimy na gruncie naukowym wytłumaczyć skomplikowane procesy i opisać zasady kształtujące i poruszające świat, gdy nawet to, czego nie potrafimy racjonalnie wytłumaczyć, stanowi wyzwanie poznawcze dla kolejnych pokoleń, masowe (bo liczba stron internetowych poświęconych symbolice liczb przewyższa znacznie liczbę stron poświęconych matematycznej teorii liczb) uciekanie się do metod numerologii wydaje się często przejawem pustki intelektualnej współczesnego społeczeństwa. Ale nie zapominajmy, że zainteresowanie tajemniczą, mistyczną naturą liczb w czasach naszych praprzodków doprowadziło do powstania wielu współczesnych dziedzin nauki i że „są takie rzeczy w niebie i na ziemi, o których się nie śniło filozofom”.

• John Bowers, Invitation to Mathematics, Basil Blackwell, 1988.
• Philip J. Davis, Reuben Hersh, Świat matematyki, PWN, Warszawa 1994.
• Georges Ifrah, Dzieje liczby, Ossolineum, 1990.
• Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, WSiP, Warszawa 1994.
• Michał Szurek, Opowieści matematyczne, WSiP, Warszawa 1987.
• Lidia Winniczuk, Ludzie, zwyczaje, obyczaje Starożytnej Grecji i Rzymu, PWN, Warszawa 1983.

• Jakie znasz przykłady symbolicznego użycia liczb w Biblii lub wierzeniach religijnych?
• Które liczby kojarzone są ze złem, a które z dobrem?
• Jakie znasz przykłady zastosowania liczb w przysłowiach i potocznych powiedzeniach? Co te liczby symbolizują?
• Czego w przyrodzie jest trzy, cztery, siedem?
• Co to jest "diabelski tuzin'?
• Co to jest tridekafobia?