MAT-ŚWIAT › Odlotowe figury

Domino - jak leci

Data ostatniej modyfikacji:
2011-11-21
Autor: 
Krzysztof Omiljanowski
pracownik IM UWr
Poziom edukacyjny: 
szkoła średnia z maturą
szkoła profilowana zawodowa
szkoła wyższa
Dział matematyki: 
geometria syntetyczna
matematyka rozrywkowa

Jak naprawdę upada domino?
 
Aby się tego dowiedzieć, można obejrzeć kadr po kadrze poniższe filmy dokumentalne.
 

  kadr: #1

 

Nie podamy tu pełnego opisu ruchu. Zignorujemy zupełnie fizykę.
Zbadamy tylko aspekt geometryczny. Co więcej (mniej?), zbadamy tylko bardzo 'chude' domino. Na tyle 'chude', by grubość kamieni g można było zaniedbać.
Przyjmiemy więc, że kamienie są prostokątami i stoją w równych odstępach d. By mogła ruszyć 'lawina', te odstępy muszą być oczywiście mniejsze od w, czyli od wysokości kamieni.
 
Przyjrzyjmy się dokładniej poniższej idealizacji 'upadku domina'.  

Widać, że dzieli się ona na wiele niemal jednakowych etapów.

Przesuwając punkt t (ikona ), zobaczysz 'etapy upadku domina'.
Zmieniaj też A1 i długość odcinka w (chwytając za jego końce).

Rysunek został utworzony za pomocą programu C.a.R. Dziękujemy Rene Grothmannowi.   

 

Najpierw upada pierwszy kamień, potrąca następny, a ten potrąca kolejny i tak dalej. Jednak na płasko znajdą się wszystkie w jednej chwili. W pewnym sensie wszystko zależy od ostatniego kamienia: najpierw on musi 'całkiem' upaść, by wcześniejsze mogły zrobić to samo.
Dlatego ponumerowaliśmy kamienienie od końca.
Przyglądniemy się teraz ostatniemu etapowi - gdy opada ostatni kamień A0. Ten etap wygląda na najbardziej skomplikowany. Wcześniejsze wyglądają podobnie, są tylko złożone z mniejszej liczby kamieni.
 
Rysunek wykonujemy 'od końca', zaczynając od A0. Kreślimy odpowiednie okręgi i wyznaczamy przecięcia z już narysowanymi kamieniami.

Możesz odkryć/schować część konstrukcji (ikoną ) i prześledzić kroki konstrukcji (ikona ).

Rysunek został utworzony za pomocą programu C.a.R. Dziękujemy Rene Grothmannowi.   

 

Jak są położone kamienie po upadku? Pod jakim kątem są nachylone? Wszystko zależy od kąta 0. Jednak trudno jest wyznaczyć kąty n wprost, jako funkcje 0. Wygodnie jest robić to po kolei.

Najpierw wyznaczamy 1 (w zależności od 0 i wartości w, d).
Zauważmy, że

| A1P1A0 | = 0 - 1 .
Stąd i z twierdzenia sinusów dla trójkąta A0A1P1 mamy:
A1P1 / sin( - 0) = A1A0 / sin(0 - 1) ,
czyli
w / sin( - 0) = d / sin(0 - 1) .
Trochę trygonometrii i chwila rachunków pozwolą wyznaczyć szukaną zależność:
Tak samo wyznaczamy następne kąty:

Trudno te wzory uznać za szczególnie eleganckie. Pozwalają jednak po kolei wyznaczać współrzędne punktów Pn (szczegóły pomijamy).

 

 

Wróćmy jeszcze do poprzedniego rysunku. Wygląda on na ilustrację poniższego opowiadania.
 
Po prostej A0A6 idzie Jaś, krokiem d. Na sznurku (o długości w) ciągnie samochodzik. A raczej nie tyle ciągnie, co szarpie. Z każdym krokiem szarpie lekko w swoją stronę, i samochodzik trochę się w tę stronę przesuwa. Dokładniej rzecz ujmując jest tak:
 
   Na początku Jaś jest w A0, a samochodzik w P0.
   Jaś szarpie i samochodzik rusza z P0 w stronę A0 (ale nie dojeżdża).
   Jaś robi krok - jest w A1, a samochodzik dojechał akurat do P1.
   Jaś znowu szarpie i samochodzik jedzie z P1 w stronę A1 (ale nie dojeżdża).
   Jaś robi krok - jest w A2, samochodzik dojechał akurat do P2.
   Jaś szarpie i samochodzik jedzie z P2 w stronę A2 (ale nie dojeżdża).
   Jaś robi krok - jest w A3, samochodzik dojechał akurat do P3.
   ...

Skomplikowane? Może trochę. Zróbmy to więc BEZ szarpnięć.
Pomyślmy jak wygląda tor ruchu autka, gdy Jaś nie szarpie.
Jest to linia, zbliżająca się do prostej A0A6. Ma ona następującą własność:

każda styczna do tej linii
przecina prostą A0A6 w punkcie oddalonym o w od punktu styczności.
Gdy oś OX jest prostą A0A6 i ta linia jest wykresem pewnej funkcji y = y( x ), to powyższa własność może być przetłumaczona na równanie:

(Jest to interpretacja geometryczna pochodnej funkcji.)
Jest to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja, i w którym występuje pochodna szukanej funkcji. Takie równania nazywa się równaniami różniczkowymi. Matematyka wyższa daje narzędzia do rozwiązywania takich równań. Rozwiązaniem naszego równania jest krzywa przedstawiona na poniższym rysunku. Linia taka nazywa się traktrysą.

 

Rysunek został utworzony za pomocą programu C.a.R. Dziękujemy Rene Grothmannowi.   

 

 

Powrót na górę strony